решите
Чтобы решить эту задачу, мы используем формулу для нахождения вероятности в биномиальном распределении.
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение применяется, когда у нас есть несколько независимых испытаний с двумя возможными исходами ("успех" и "неудача"). Вероятность каждого исхода постоянна.
Дано:
- Количество испытаний \( n = 6 \).
- Количество успехов (выпадение числа 6) \( k = 3 \).
- Вероятность успеха в одном испытании (выпадение шестерки на игральной кости) \( p = \frac{1}{6} \).
Формула биномиального распределения:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
Где:
- \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- \(p^k\) — вероятность, что успех произойдет ровно \(k\) раз.
- \((1-p)^{n-k}\) — вероятность, что успех произойдет не все оставшиеся \(n-k\) раз.
Решение
- Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]
- Вычислим вероятность:
\[ p^3 = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \]
- Вычислим вероятность отсутствия успеха:
\[ (1-p)^{6-3} = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]
- Подставим все в формулу:
\[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} \]
\[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656} \]
- Округлим до сотых:
\[ P(X = 3) \approx 0.054 \]
Ответ
Вероятность того, что число 6 выпадет ровно 3 раза, приблизительно равна 0.054 (или 5.4%).
