Предположим, у нас есть случайная величина Z, которая принимает значения 2, 3, 5, 7 и 9 с вероятностями 0,2; 0,1; 0,3; 0,3 и 0,1 соответственно. Найдите дисперсию этой случайной…

Чтобы найти дисперсию случайной величины \( Z \), нужно следовать нескольким пошаговым процедурам. Дисперсия измеряет, насколько значения случайной величины разбросаны относительно её математического ожидания. Давайте разберёмся, как это сделать.

Шаг 1: Найти математическое ожидание (среднее значение) \( Z \)

Математическое ожидание \( E(Z) \) вычисляется с помощью формулы:

\[ E(Z) = \sum (z_i \cdot p_i) \]

где \( z_i \) — это значения случайной величины, а \( p_i \) — соответствующие вероятности.

Для нашей случайной величины:

• \( Z \) принимает значения: 2, 3, 5, 7, 9
• Соответствующие вероятности: 0,2; 0,1; 0,3; 0,3; 0,1

Теперь подставим значения в формулу:

\[ E(Z) = (2 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0.1) + (5 \cdot 0.3) + (7 \cdot 0.3) + (9 \cdot 0.1) \]

Рассчитаем каждое произведение:

1. \( 2 \cdot 0.2 = 0.4 \)
2. \( 3 \cdot 0.1 = 0.3 \)
3. \( 5 \cdot 0.3 = 1.5 \)
4. \( 7 \cdot 0.3 = 2.1 \)
5. \( 9 \cdot 0.1 = 0.9 \)

Теперь сложим все эти значения:

\[ E(Z) = 0.4 + 0.3 + 1.5 + 2.1 + 0.9 = 5.2 \]

Шаг 2: Найти дисперсию \( D(Z) \)

Дисперсия \( D(Z) \) определяется как:

\[ D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 \]

Сначала вычислим \( E(Z^2) \):

\[ E(Z^2) = \sum (z_i^2 \cdot p_i) \]

Теперь подставим значения:

• \( Z^2 \) для каждого значения:
  • \( 2^2 = 4 \)
  • \( 3^2 = 9 \)
  • \( 5^2 = 25 \)
  • \( 7^2 = 49 \)
  • \( 9^2 = 81 \)

Теперь подставим это в формулу:

\[ E(Z^2) = (4 \cdot 0.2) + (9 \cdot 0.1) + (25 \cdot 0.3) + (49 \cdot 0.3) + (81 \cdot 0.1) \]

Считаем каждое произведение:

1. \( 4 \cdot 0.2 = 0.8 \)
2. \( 9 \cdot 0.1 = 0.9 \)
3. \( 25 \cdot 0.3 = 7.5 \)
4. \( 49 \cdot 0.3 = 14.7 \)
5. \( 81 \cdot 0.1 = 8.1 \)

Теперь складываем:

\[ E(Z^2) = 0.8 + 0.9 + 7.5 + 14.7 + 8.1 = 32.0 \]

Шаг 3: Подсчёт дисперсии

Теперь можно найти дисперсию:

\[ D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = 32.0 - (5.2)^2 \]

Сначала найдём квадрат математического ожидания:

\[ (5.2)^2 = 27.04 \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ D(Z) = 32.0 - 27.04 = 4.96 \]

Ответ

Дисперсия случайной величины \( Z \) равна \( 4.96 \).