Чтобы найти дисперсию случайной величины ( Z ), нужно следовать нескольким пошаговым процедурам. Дисперсия измеряет, насколько значения случайной величины разбросаны относительно её математического ожидания. Давайте разберёмся, как это сделать.
Шаг 1: Найти математическое ожидание (среднее значение) ( Z )
Математическое ожидание ( E(Z) ) вычисляется с помощью формулы:
[
E(Z) = \sum (z_i \cdot p_i)
]
где ( z_i ) — это значения случайной величины, а ( p_i ) — соответствующие вероятности.
Для нашей случайной величины:
- ( Z ) принимает значения: 2, 3, 5, 7, 9
- Соответствующие вероятности: 0,2; 0,1; 0,3; 0,3; 0,1
Теперь подставим значения в формулу:
[
E(Z) = (2 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0.1) + (5 \cdot 0.3) + (7 \cdot 0.3) + (9 \cdot 0.1)
]
Рассчитаем каждое произведение:
- ( 2 \cdot 0.2 = 0.4 )
- ( 3 \cdot 0.1 = 0.3 )
- ( 5 \cdot 0.3 = 1.5 )
- ( 7 \cdot 0.3 = 2.1 )
- ( 9 \cdot 0.1 = 0.9 )
Теперь сложим все эти значения:
[
E(Z) = 0.4 + 0.3 + 1.5 + 2.1 + 0.9 = 5.2
]
Шаг 2: Найти дисперсию ( D(Z) )
Дисперсия ( D(Z) ) определяется как:
[
D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2
]
Сначала вычислим ( E(Z^2) ):
[
E(Z^2) = \sum (z_i^2 \cdot p_i)
]
Теперь подставим значения:
- ( Z^2 ) для каждого значения:
- ( 2^2 = 4 )
- ( 3^2 = 9 )
- ( 5^2 = 25 )
- ( 7^2 = 49 )
- ( 9^2 = 81 )
Теперь подставим это в формулу:
[
E(Z^2) = (4 \cdot 0.2) + (9 \cdot 0.1) + (25 \cdot 0.3) + (49 \cdot 0.3) + (81 \cdot 0.1)
]
Считаем каждое произведение:
- ( 4 \cdot 0.2 = 0.8 )
- ( 9 \cdot 0.1 = 0.9 )
- ( 25 \cdot 0.3 = 7.5 )
- ( 49 \cdot 0.3 = 14.7 )
- ( 81 \cdot 0.1 = 8.1 )
Теперь складываем:
[
E(Z^2) = 0.8 + 0.9 + 7.5 + 14.7 + 8.1 = 32.0
]
Шаг 3: Подсчёт дисперсии
Теперь можно найти дисперсию:
[
D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = 32.0 - (5.2)^2
]
Сначала найдём квадрат математического ожидания:
[
(5.2)^2 = 27.04
]
Теперь подставим это в формулу:
[
D(Z) = 32.0 - 27.04 = 4.96
]
Ответ
Дисперсия случайной величины ( Z ) равна ( 4.96 ).
