решите

Чтобы найти дисперсию случайной величины \( Z \), нужно следовать нескольким шагам, которые включают нахождение математического ожидания и дисперсии.

Шаг 1: Найдите математическое ожидание \( E(Z) \)

Математическое ожидание случайной величины вычисляется как сумма произведений возможных значений на соответствующие вероятности:

\[ E(Z) = \sum (z_i \cdot p_i) \]

где \( z_i \) — значения случайной величины \( Z \), а \( p_i \) — соответствующие вероятности.

Подставим данные:

\[ E(Z) = 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.1 \]

\[ E(Z) = 0.4 + 0.3 + 1.5 + 2.1 + 0 \]

\[ E(Z) = 4.3 \]

Шаг 2: Найдите дисперсию \( D(Z) \)

Дисперсия определяется как сумма произведений квадратов отклонений значений от математического ожидания на соответствующие вероятности:

\[ D(Z) = \sum ((z_i - E(Z))^2 \cdot p_i) \]

Подставим данные:

\[ D(Z) = (2 - 4.3)^2 \cdot 0.2 + (3 - 4.3)^2 \cdot 0.1 + (5 - 4.3)^2 \cdot 0.3 + (7 - 4.3)^2 \cdot 0.3 + (0 - 4.3)^2 \cdot 0.1 \]

\[ D(Z) = (2.3)^2 \cdot 0.2 + (1.3)^2 \cdot 0.1 + (0.7)^2 \cdot 0.3 + (2.7)^2 \cdot 0.3 + (4.3)^2 \cdot 0.1 \]

\[ D(Z) = 5.29 \cdot 0.2 + 1.69 \cdot 0.1 + 0.49 \cdot 0.3 + 7.29 \cdot 0.3 + 18.49 \cdot 0.1 \]

\[ D(Z) = 1.058 + 0.169 + 0.147 + 2.187 + 1.849 \]

\[ D(Z) = 5.41 \]

Таким образом, дисперсия случайной величины \( Z \) равна \( 5.41 \).