Представьте, что вы бросаете идеальный шестигранный игральный кубик (на гранях цифры от 1 до 6). Каково математическое ожидание числа, которое выпаде?
Чтобы найти математическое ожидание результата броска идеального шестигранного кубика, давайте разберем задачу по шагам.
Определение вероятностей:
Идеальный шестигранный кубик имеет 6 равновероятных граней, на которых изображены числа от 1 до 6.Вероятность выпадения каждой грани равна: \[ P(X = k) = \frac{1}{6}, \quad \text{где } k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \]
Определение математического ожидания:
Математическое ожидание (или среднее значение) для дискретной случайной величины определяется по формуле: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \] В нашем случае, \( x_i \) — это возможные значения на кубике (1, 2, 3, 4, 5, 6), а \( P(X = x_i) = \frac{1}{6} \) для каждого \( x_i \).Подставляем значения: Подставим возможные значения и их вероятности в формулу математического ожидания: \[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \]
Вычисление суммы: Сначала сложим все значения: \[ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} \]
Сложим 1, 2, 3, 4, 5 и 6: \[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \]
Подставим в формулу: \[ E(X) = \frac{21}{6} = 3.5 \]
Ответ:
Таким образом, математическое ожидание числа, которое выпадет при броске идеального шестигранного кубика, равно 3.5.
Это значение показывает, что в среднем, при большом количестве бросков кубика, вы будете получать число около 3.5, что является разумным ожиданием, учитывая распределение возможных результатов от 1 до 6.
