Представьте, что вы бросаете идеальный шестигранный игральный кубик (на гранях цифры от 1 до 6). Каково математическое ожидание числа, которое выпаде?
Чтобы найти математическое ожидание результата броска идеального шестигранного кубика, давайте разберем задачу по шагам.
1. **Определение вероятностей:**
Идеальный шестигранный кубик имеет 6 равновероятных граней, на которых изображены числа от 1 до 6.
Вероятность выпадения каждой грани равна:
\[
P(X = k) = \frac{1}{6}, \quad \text{где } k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
\]
2. **Определение математического ожидания:**
Математическое ожидание (или среднее значение) для дискретной случайной величины определяется по формуле:
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
\]
В нашем случае, \( x_i \) — это возможные значения на кубике (1, 2, 3, 4, 5, 6), а \( P(X = x_i) = \frac{1}{6} \) для каждого \( x_i \).
3. **Подставляем значения:**
Подставим возможные значения и их вероятности в формулу математического ожидания:
\[
E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}
\]
4. **Вычисление суммы:**
Сначала сложим все значения:
\[
E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6}
\]
Сложим 1, 2, 3, 4, 5 и 6:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
\]
Подставим в формулу:
\[
E(X) = \frac{21}{6} = 3.5
\]
5. **Ответ:**
Таким образом, математическое ожидание числа, которое выпадет при броске идеального шестигранного кубика, равно **3.5**.
Это значение показывает, что в среднем, при большом количестве бросков кубика, вы будете получать число около 3.5, что является разумным ожиданием, учитывая распределение возможных результатов от 1 до 6.
