Для решения задачи о том, сколько способов можно выбрать 3 учеников из 10, мы будем использовать комбинаторику, в частности, формулу сочетаний.
Сочетания — это способ выбора предметов (в нашем случае, учеников) из заданного множества, когда порядок выбора не важен.
Формула для вычисления количества сочетаний записывается так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество элементов (в нашем случае, 10 учеников),
- ( k ) — количество элементов, которые нужно выбрать (в нашем случае, 3 ученика),
- ( ! ) — факториал числа, который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
Теперь подставим значения в формулу:
Определим ( n ) и ( k ):
- ( n = 10 ) (ученики)
- ( k = 3 ) (выбираемые ученики)
Подставляем значения в формулу:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}
]
- Вычисляем факториалы:
- ( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! ) (заметим, что ( 7! ) сокращается)
- ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )
Теперь можем записать:
[
C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6}
]
- Вычисляем значение:
[
C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120
]
Таким образом, количество способов выбрать 3 ученика из 10 составит 120.
Ответ: 120 способов.
