Рассмотрим каждую из задач пошагово.
Задача 1: Объем прямой призмы
Дано:
- Основание – квадрат с диагональю (6\sqrt{2}).
- Высота (h = 10 , \text{см}).
1. Находим сторону квадрата:
Диагональ квадрата (d) связана со стороной (a) следующим соотношением:
[
d = a\sqrt{2}
]
Подставим значение диагонали:
[
6\sqrt{2} = a\sqrt{2}
]
Теперь можем выразить сторону:
[
a = 6 , \text{см}
]
2. Находим площадь основания:
Площадь (S) квадрата вычисляется по формуле:
[
S = a^2 = 6^2 = 36 , \text{см}^2
]
3. Находим объем призмы:
Объем (V) прямой призмы можно найти по формуле:
[
V = S \cdot h = 36 \cdot 10 = 360 , \text{см}^3
]
4. Находим площадь поверхности:
Площадь поверхности (A) прямой призмы определяется по формуле:
[
A = 2S + P \cdot h
]
где (P) — периметр основания.
Периметр квадрата:
[
P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 , \text{см}
]
Теперь подсчитаем:
[
A = 2 \cdot 36 + 24 \cdot 10 = 72 + 240 = 312 , \text{см}^2
]
Ответ:
- Объем призмы: (360 , \text{см}^3)
- Площадь поверхности: (312 , \text{см}^2)
Задача 2: Объем конуса и площадь полной поверхности
Дано:
- Диаметр основания (d = 12 , \text{см} \Rightarrow r = 6 , \text{см})
- Высота (h = 8 , \text{см})
1. Находим объем конуса:
Формула для объема (V):
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
Подставим значения:
[
V = \frac{1}{3} \pi (6^2)(8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288\pi}{3} = 96\pi , \text{см}^3 \approx 301.59 , \text{см}^3
]
2. Находим площадь полной поверхности:
Формула для площади полной поверхности (S):
[
S = \pi r (r + l)
]
где (l) — образующая конуса, её находим по теореме Пифагора:
[
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 , \text{см}
]
Теперь подставляем в формулу площади:
[
S = \pi \cdot 6 (6 + 10) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi , \text{см}^2 \approx 301.59 , \text{см}^2
]
Ответ:
- Объем конуса: (96\pi , \text{см}^3 \approx 301.59 , \text{см}^3)
- Площадь полной поверхности: (96\pi , \text{см}^2 \approx 301.59 , \text{см}^2)
Задача 3: Объем цилиндра
Дано:
- Осевое сечение – квадрат с диагональю (9\sqrt{2}).
1. Находим сторону квадрата:
[
d = a\sqrt{2} \Rightarrow 9\sqrt{2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 9 , \text{см}
]
2. Находим радиус основания:
Радиус (r) равен половине стороны:
[
r = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 , \text{см}
]
3. Находим объем цилиндра:
Объем (V) вычисляется по формуле:
[
V = \pi r^2 h
]
Мы не знаем высоту (h), поэтому оставим ответ в общем виде:
[
V = \pi (4.5^2)h = \pi \cdot 20.25h , \text{см}^3
]
Ответ:
Объем цилиндра: (20.25\pi h , \text{см}^3) (где (h) — высота).
Задача 4: Масса усеченной пирамиды
Дано:
- Высота (h = 4.5 , \text{м} = 450 , \text{см})
- Длины сторон оснований: (a_1 = 4.5 , \text{м} = 450 , \text{см}), (a_2 = 5.5 , \text{м} = 550 , \text{см})
- Удельная плотность гранита: (2.5 , \text{г/см}^3)
1. Находим площадь оснований:
[
S_1 = a_1^2 = 450^2 = 202500 , \text{см}^2
]
[
S_2 = a_2^2 = 550^2 = 302500 , \text{см}^2
]
2. Находим объем усеченной пирамиды:
Объем (V):
[
V = \frac{h}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{450}{3} (202500 + 302500 + \sqrt{202500 \cdot 302500})
]
Сначала найдем (\sqrt{202500 \cdot 302500}):
[
\sqrt{202500 \cdot 302500} = \sqrt{61256250000} = 2475 \cdot 250 = 618750
]
Теперь подставляем в формулу для объема:
[
V = 150 (202500 + 302500 + 618750) = 150 \cdot 1125000 = 168750000 , \text{см}^3
]
3. Находим массу:
Масса (m = V \cdot \text{плотность}):
[
m = 168750000 \cdot 2.5 = 421875000 , \text{г} = 421.875 , \text{кг}
]
Ответ:
Масса подставки: (421.875 , \text{кг})
Задача 5: Масса свинцовой трубы
Дано:
- Внутренний диаметр (d_{вн} = 16 , \text{мм} \Rightarrow r_{вн} = 8 , \text{мм} = 0.8 , \text{см})
- Толщина стенок (t = 4 , \text{мм} = 0.4 , \text{см})
- Внешний радиус (r_{вн} = r_{вн} + t = 0.8 + 0.4 = 1.2 , \text{см})
- Длина трубы (L = 25 , \text{м} = 2500 , \text{см})
- Удельная плотность свинца: (11.4 , \text{г/см}^3)
1. Находим объем трубы:
Объем (V):
[
V = \pi (r_{вн}^2 - r_{вн}^2) L
]
Подставляем значения:
[
V = \pi ((1.2^2 - 0.8^2) \cdot 2500) = \pi \cdot (1.44 - 0.64) \cdot 2500 = \pi \cdot (0.8 \cdot 2500) = 2000\pi , \text{см}^3
]
2. Находим массу:
Масса:
[
m = V \cdot \text{плотность} = 2000\pi \cdot 11.4 \approx 2000 \cdot 3.14 \cdot 11.4 \approx 80328 , \text{г} \approx 80.328 , \text{кг}
]
Ответ:
Масса трубы: (80.328 , \text{кг})
Таким образом, все задачи решены. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
