Контрольная работа «Объемы пространственных тел», вариант 4 1. Основание прямой призмы - квадрат с диагональю 6√2. Найдите объем призмы и площадь поверхности, если высота призмы —…

Рассмотрим каждую из задач пошагово.

Задача 1: Объем прямой призмы

Дано:

• Основание – квадрат с диагональю \(6\sqrt{2}\).
• Высота \(h = 10 \, \text{см}\).

1. Находим сторону квадрата: Диагональ квадрата \(d\) связана со стороной \(a\) следующим соотношением: \[ d = a\sqrt{2} \] Подставим значение диагонали: \[ 6\sqrt{2} = a\sqrt{2} \] Теперь можем выразить сторону: \[ a = 6 \, \text{см} \]

2. Находим площадь основания: Площадь \(S\) квадрата вычисляется по формуле: \[ S = a^2 = 6^2 = 36 \, \text{см}^2 \]

3. Находим объем призмы: Объем \(V\) прямой призмы можно найти по формуле: \[ V = S \cdot h = 36 \cdot 10 = 360 \, \text{см}^3 \]

4. Находим площадь поверхности: Площадь поверхности \(A\) прямой призмы определяется по формуле: \[ A = 2S + P \cdot h \] где \(P\) — периметр основания. Периметр квадрата: \[ P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \, \text{см} \] Теперь подсчитаем: \[ A = 2 \cdot 36 + 24 \cdot 10 = 72 + 240 = 312 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

• Объем призмы: \(360 \, \text{см}^3\)
• Площадь поверхности: \(312 \, \text{см}^2\)

---

Задача 2: Объем конуса и площадь полной поверхности

Дано:

• Диаметр основания \(d = 12 \, \text{см} \Rightarrow r = 6 \, \text{см}\)
• Высота \(h = 8 \, \text{см}\)

1. Находим объем конуса: Формула для объема \(V\): \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Подставим значения: \[ V = \frac{1}{3} \pi (6^2)(8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288\pi}{3} = 96\pi \, \text{см}^3 \approx 301.59 \, \text{см}^3 \]

2. Находим площадь полной поверхности: Формула для площади полной поверхности \(S\): \[ S = \pi r (r + l) \] где \(l\) — образующая конуса, её находим по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \] Теперь подставляем в формулу площади: \[ S = \pi \cdot 6 (6 + 10) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi \, \text{см}^2 \approx 301.59 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

• Объем конуса: \(96\pi \, \text{см}^3 \approx 301.59 \, \text{см}^3\)
• Площадь полной поверхности: \(96\pi \, \text{см}^2 \approx 301.59 \, \text{см}^2\)

---

Задача 3: Объем цилиндра

Дано:

• Осевое сечение – квадрат с диагональю \(9\sqrt{2}\).

1. Находим сторону квадрата: \[ d = a\sqrt{2} \Rightarrow 9\sqrt{2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 9 \, \text{см} \]

2. Находим радиус основания: Радиус \(r\) равен половине стороны: \[ r = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{см} \]

3. Находим объем цилиндра: Объем \(V\) вычисляется по формуле: \[ V = \pi r^2 h \] Мы не знаем высоту \(h\), поэтому оставим ответ в общем виде: \[ V = \pi (4.5^2)h = \pi \cdot 20.25h \, \text{см}^3 \]

Ответ:

Объем цилиндра: \(20.25\pi h \, \text{см}^3\) (где \(h\) — высота).

---

Задача 4: Масса усеченной пирамиды

Дано:

• Высота \(h = 4.5 \, \text{м} = 450 \, \text{см}\)
• Длины сторон оснований: \(a_1 = 4.5 \, \text{м} = 450 \, \text{см}\), \(a_2 = 5.5 \, \text{м} = 550 \, \text{см}\)
• Удельная плотность гранита: \(2.5 \, \text{г/см}^3\)

1. Находим площадь оснований: \[ S_1 = a_1^2 = 450^2 = 202500 \, \text{см}^2 \] \[ S_2 = a_2^2 = 550^2 = 302500 \, \text{см}^2 \]

2. Находим объем усеченной пирамиды: Объем \(V\): \[ V = \frac{h}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{450}{3} (202500 + 302500 + \sqrt{202500 \cdot 302500}) \] Сначала найдем \(\sqrt{202500 \cdot 302500}\): \[ \sqrt{202500 \cdot 302500} = \sqrt{61256250000} = 2475 \cdot 250 = 618750 \] Теперь подставляем в формулу для объема: \[ V = 150 (202500 + 302500 + 618750) = 150 \cdot 1125000 = 168750000 \, \text{см}^3 \]

3. Находим массу: Масса \(m = V \cdot \text{плотность}\): \[ m = 168750000 \cdot 2.5 = 421875000 \, \text{г} = 421.875 \, \text{кг} \]

Ответ:

Масса подставки: \(421.875 \, \text{кг}\)

---

Задача 5: Масса свинцовой трубы

Дано:

• Внутренний диаметр \(d_{вн} = 16 \, \text{мм} \Rightarrow r_{вн} = 8 \, \text{мм} = 0.8 \, \text{см}\)
• Толщина стенок \(t = 4 \, \text{мм} = 0.4 \, \text{см}\)
• Внешний радиус \(r_{вн} = r_{вн} + t = 0.8 + 0.4 = 1.2 \, \text{см}\)
• Длина трубы \(L = 25 \, \text{м} = 2500 \, \text{см}\)
• Удельная плотность свинца: \(11.4 \, \text{г/см}^3\)

1. Находим объем трубы: Объем \(V\): \[ V = \pi (r_{вн}^2 - r_{вн}^2) L \] Подставляем значения: \[ V = \pi ((1.2^2 - 0.8^2) \cdot 2500) = \pi \cdot (1.44 - 0.64) \cdot 2500 = \pi \cdot (0.8 \cdot 2500) = 2000\pi \, \text{см}^3 \]

2. Находим массу: Масса: \[ m = V \cdot \text{плотность} = 2000\pi \cdot 11.4 \approx 2000 \cdot 3.14 \cdot 11.4 \approx 80328 \, \text{г} \approx 80.328 \, \text{кг} \]

Ответ:

Масса трубы: \(80.328 \, \text{кг}\)

---

Таким образом, все задачи решены. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!