integ( cost+3x^7-4/√x) dx

Чтобы решить интеграл \(\int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx\), давайте разберем его на части и интегрируем каждую отдельно.

Шаг 1: Разделим интеграл

Мы можем разделить интеграл на три части:

\[ \int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx = \int \cos(t) \, dt + \int 3x^7 \, dx - \int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx \]

Шаг 2: Интегрируем каждую часть

1. Интеграл \(\int \cos(t) \, dt\):

   Интеграл \(\cos(t)\) равен \(\sin(t)\): \[ \int \cos(t) \, dt = \sin(t) + C_1 \]

2. Интеграл \(\int 3x^7 \, dx\):

   Используем правило интегрирования \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

   Здесь \(n = 7\), поэтому: \[ \int 3x^7 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{8}}{8} = \frac{3}{8} x^8 + C_2 \]

3. Интеграл \(-\int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx\):

   Заметим, что \(\frac{4}{\sqrt{x}} = 4x^{-1/2}\), и тогда мы можем применить правило интегрирования: \[ \int 4x^{-1/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4 \cdot 2x^{1/2} = 8\sqrt{x} + C_3 \] Таким образом, у нас получится: \[ -\int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx = -8\sqrt{x} - C_3 \]

Шаг 3: Объединим результаты

Теперь мы можем объединить все части, получая общий интеграл:

\[ \int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx = \sin(t) + \frac{3}{8}x^8 - 8\sqrt{x} + C \]

Итог

Таким образом, окончательный ответ для данного интеграла:

\[ \int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx = \sin(t) + \frac{3}{8}x^8 - 8\sqrt{x} + C \]

Где \(C\) — произвольная константа интегрирования.