Integ( cost+3x^7-4/√x) dx

Чтобы решить интеграл \(\int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx\), давайте разберем его на части и интегрируем каждую отдельно. ### Шаг 1: Разделим интеграл Мы можем разделить интеграл на три части: \[ \int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx = \int \cos(t) \, dt + \int 3x^7 \, dx - \int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx \] ### Шаг 2: Интегрируем каждую часть 1. **Интеграл \(\int \cos(t) \, dt\)**: Интеграл \(\cos(t)\) равен \(\sin(t)\): \[ \int \cos(t) \, dt = \sin(t) + C_1 \] 2. **Интеграл \(\int 3x^7 \, dx\)**: Используем правило интегрирования \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): Здесь \(n = 7\), поэтому: \[ \int 3x^7 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{8}}{8} = \frac{3}{8} x^8 + C_2 \] 3. **Интеграл \(-\int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx\)**: Заметим, что \(\frac{4}{\sqrt{x}} = 4x^{-1/2}\), и тогда мы можем применить правило интегрирования: \[ \int 4x^{-1/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4 \cdot 2x^{1/2} = 8\sqrt{x} + C_3 \] Таким образом, у нас получится: \[ -\int \frac{4}{\sqrt{x}} \, dx = -8\sqrt{x} - C_3 \] ### Шаг 3: Объединим результаты Теперь мы можем объединить все части, получая общий интеграл: \[ \int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx = \sin(t) + \frac{3}{8}x^8 - 8\sqrt{x} + C \] ### Итог Таким образом, окончательный ответ для данного интеграла: \[ \int (cost + 3x^7 - \frac{4}{\sqrt{x}}) \, dx = \sin(t) + \frac{3}{8}x^8 - 8\sqrt{x} + C \] Где \(C\) — произвольная константа интегрирования.