3integ1 (3x^2-3/x^2) dx
Давайте разберемся с вашей задачей, которая представляет собой интеграл: \( \int (3x^2 - \frac{3}{x^2}) \, dx \).
Шаг 1: Разделим интеграл
Сначала мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:
\[ \int (3x^2 - \frac{3}{x^2}) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int \frac{3}{x^2} \, dx \]
Шаг 2: Интегрирование первого члена
Теперь начнем с первого интеграла \(\int 3x^2 \, dx\).
Для этого мы можем использовать правило интегрирования степени \(x^n\), которое гласит, что
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1) \]
В нашем случае \(n = 2\), поэтому:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \]
Шаг 3: Интегрирование второго члена
Теперь рассмотрим второй интеграл \(\int \frac{3}{x^2} \, dx\). Мы можем записать \(\frac{3}{x^2}\) как \(3x^{-2}\). Таким образом, мы получаем:
\[ \int \frac{3}{x^2} \, dx = \int 3x^{-2} \, dx \]
Теперь снова используем правило интегрирования:
\[ \int 3x^{-2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x} \]
Шаг 4: Объединяем результаты
Теперь мы объединяем оба результата:
\[ \int (3x^2 - \frac{3}{x^2}) \, dx = x^3 - \left(-\frac{3}{x}\right) + C \]
И это можно записать как:
\[ x^3 + \frac{3}{x} + C \]
Итоговый ответ
Таким образом, окончательный ответ на интеграл:
\[ \int (3x^2 - \frac{3}{x^2}) \, dx = x^3 + \frac{3}{x} + C \]
где \(C\) — постоянная интегрирования. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужно еще что-то разъяснить, не стесняйтесь спрашивать!
