Чтобы решить интеграл (\int \left( \frac{3}{\sqrt{x}} + x^5 - 10 \right) dx), разложим его на три отдельных интеграла:
[
\int \left( \frac{3}{\sqrt{x}} + x^5 - 10 \right) dx = \int \frac{3}{\sqrt{x}} , dx + \int x^5 , dx - \int 10 , dx
]
Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности.
- Интеграл (\int \frac{3}{\sqrt{x}} , dx):
[
\int \frac{3}{\sqrt{x}} , dx = 3 \int x^{-\frac{1}{2}} , dx
]
Используем правило интегрирования ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ):
[
= 3 \cdot \left( \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right) + C = 3 \cdot \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) + C = 3 \cdot (2\sqrt{x}) + C = 6\sqrt{x} + C
]
- Интеграл (\int x^5 , dx):
[
\int x^5 , dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C
]
- Интеграл (\int 10 , dx):
[
\int 10 , dx = 10x + C
]
Теперь мы объединим все полученные результаты:
[
\int \left( \frac{3}{\sqrt{x}} + x^5 - 10 \right) dx = 6\sqrt{x} + \frac{x^6}{6} - 10x + C
]
Где (C) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ будет:
[
\int \left( \frac{3}{\sqrt{x}} + x^5 - 10 \right) dx = 6\sqrt{x} + \frac{x^6}{6} - 10x + C
]
