Х^2+х-5х<5
Давайте решим неравенство \(x^2 + x - 5x < 5\) пошагово и подробно.
Упрощение неравенства:
Сначала упростим неравенство. Объединим похожие термины на левой стороне. Мы имеем: \[ x^2 + x - 5x = x^2 - 4x \] Таким образом, неравенство можно записать как: \[ x^2 - 4x < 5 \]Перенос всех членов в одну сторону:
Далее мы перенесем 5 на левую сторону, чтобы неравенство выглядело как: \[ x^2 - 4x - 5 < 0 \]Нахождение корней квадратного уравнения:
Теперь найдём корни уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\). Подставим эти значения: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] Посчитаем дискриминант: \[ (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Теперь найдём корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Таким образом, у нас есть два корня:- \(x_1 = \frac{10}{2} = 5\)
- \(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\)
Определение знаков многочлена:
Теперь мы определили корни \(x = -1\) и \(x = 5\). Это делит числовую ось на три интервала:- \((-\infty, -1)\)
- \((-1, 5)\)
- \((5, +\infty)\)
Проверка знаков в каждом интервале:
Нам нужно определить, где выражение \(x^2 - 4x - 5\) отрицательно. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала.Для интервала \((-\infty, -1)\), возьмем \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \]
Для интервала \((-1, 5)\), возьмем \(x = 0\): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5 < 0 \]
Для интервала \((5, +\infty)\), возьмем \(x = 6\): \[ 6^2 - 4 \cdot 6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \]
Собираем результаты:
С учетом проверок, многочлен \(x^2 - 4x - 5\) отрицателен на интервале \((-1, 5)\).Запись окончательного ответа:
Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 4x - 5 < 0\) будет: \[ -1 < x < 5 \]
Это и есть полный ответ на ваше неравенство. Если есть еще вопросы или что-то непонятно, задавайте!
