Дано: а [ 2;-2;0] и в [ 3;0;-3] найти: а × в

Для нахождения векторного произведения двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), нам нужно использовать следующую формулу:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

где \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) — единичные векторы, а \( a_1, a_2, a_3 \) и \( b_1, b_2, b_3 \) — это компоненты векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) соответственно.

В нашем случае:

• Вектор \( \mathbf{a} = [2; -2; 0] \) имеет компоненты \( a_1 = 2 \), \( a_2 = -2 \), \( a_3 = 0 \).
• Вектор \( \mathbf{b} = [3; 0; -3] \) имеет компоненты \( b_1 = 3 \), \( b_2 = 0 \), \( b_3 = -3 \).

Теперь подставим эти значения в определитель:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим этот определитель по правилам:

1. Вычислим по первому ряду: \[ \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} \]

2. Вычислим каждый из определителей:

   • Для \(\mathbf{i}\): \[ \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-3) - (0) \cdot (0) = 6 \]

   • Для \(\mathbf{j}\): \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = (2) \cdot (-3) - (0) \cdot (3) = -6 \]

   • Для \(\mathbf{k}\): \[ \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (2) \cdot (0) - (-2) \cdot (3) = 6 \]

3. Теперь подставим результаты обратно: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \cdot 6 - \mathbf{j} \cdot (-6) + \mathbf{k} \cdot 6 \] \[ = 6\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 6\mathbf{k} \]

Таким образом, векторное произведение \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = [6; 6; 6] \).

Ответ: \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = [6; 6; 6] \)