найти cos d , если d угол между векторами а ( -4,3;0) и в ( 5;7 -1)

Чтобы найти косинус угла \( d \) между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), воспользуемся формулой:

\[ \cos d = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модули) этих векторов.

Шаг 1: Определение векторов

Давайте запишем векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} = (-4, 3, 0) \quad \text{и} \quad \mathbf{b} = (5, 7, -1) \]

Шаг 2: Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Подставляем значения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-4) \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 0 \cdot (-1) \]

Теперь вычислим каждое произведение и суммируем их:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20 + 21 + 0 = 1 \]

Шаг 3: Вычисление длины векторов

Длина вектора \( |\mathbf{a}| \) вычисляется по формуле:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

Подставим значения для \( \mathbf{a} \):

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь посчитаем длину вектора \( |\mathbf{b}| \):

\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} = \sqrt{5^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]

Шаг 4: Вычисление \( \cos d \)

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

\[ \cos d = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{1}{5 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{1}{25\sqrt{3}} \]

Итог

Таким образом, косинус угла \( d \) между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен:

\[ \cos d = \frac{1}{25\sqrt{3}} \]

Это окончательный ответ. Если у вас остались вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!