В начале каждого года вы вкладываете 500 тыс. руб. в банк, ежегодно начисляющий сложные проценты по ставке 9% годовых. Определить сумму, которая накопится на счете через 5 лет.…

Для того чтобы определить сумму, которая накопится на счете через 5 лет при ежегодном вложении 500 тыс. рублей под 9% сложных процентов, воспользуемся формулой для будущей стоимости аннуитета:

\[ S = P \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \]

Где:

• \(S\) — будущая стоимость аннуитета (сумма на счете через 5 лет),
• \(P\) — ежегодный взнос (500,000 рублей),
• \(r\) — годовая процентная ставка (в десятичной форме, то есть 0,09),
• \(n\) — количество периодов (в нашем случае 5 лет).

Подставим известные значения в формулу:

\[ S = 500000 \cdot \frac{(1 + 0.09)^5 - 1}{0.09} \]

Теперь вычислим:

1. Рассчитаем \( (1 + 0.09)^5 \):

\[ (1 + 0.09)^5 = 1.53862 \quad (примерное значение) \]

2. Теперь подставим это значение в формулу:

\[ S = 500000 \cdot \frac{1.53862 - 1}{0.09} \] \[ S = 500000 \cdot \frac{0.53862}{0.09} \] \[ S = 500000 \cdot 5.98467 \quad (примерное значение) \] \[ S \approx 2992334 \quad (рублей) \]

Таким образом, сумма, которая накопится на счете через 5 лет, составит примерно 2,992,334 рубля.

Однократный взнос

Теперь найдем, какой величины должен быть одноразовый взнос, чтобы через 5 лет получить ту же сумму. Для этого используем формулу сложных процентов:

\[ A = P(1 + r)^n \]

Где:

• \(A\) — конечная сумма (те же 2,992,334 рубля),
• \(P\) — одноразовый взнос,
• \(r\) — годовая процентная ставка (0,09),
• \(n\) — количество лет (5).

Перепишем формулу для \(P\):

\[ P = \frac{A}{(1 + r)^n} \]

Подставим значения:

\[ P = \frac{2992334}{(1 + 0.09)^5} \] \[ P = \frac{2992334}{1.53862} \] \[ P \approx 1940834 \quad (рублей) \]

Таким образом, чтобы получить ту же сумму через 5 лет при однократном вложении, необходимо внести примерно 1,940,834 рублей.