Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной осью Ox прямыми x=-1 x=2 и параболой y=9-x2
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми \( x = -1 \), \( x = 2 \) и параболой \( y = 9 - x^2 \), нужно выполнить следующие шаги:
Найти точку пересечения параболы с осью Ox. Это происходит, когда \( y = 0 \): \[ 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = -3 \text{ или } x = 3. \] Однако нас интересуют только значения \( x \) от -1 до 2.
Вычислить площадь под параболой от \( x = -1 \) до \( x = 2 \). Площадь вычисляется по интегралу: \[ S = \int_{-1}^{2} (9 - x^2) \, dx. \]
Выразим интеграл: \[ S = \int_{-1}^{2} 9 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx. \]
Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.
Первый интеграл: \[ \int_{-1}^{2} 9 \, dx = 9[x]_{-1}^{2} = 9(2 - (-1)) = 9 \cdot 3 = 27. \]
Второй интеграл: \[ \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3. \]
Теперь подставим значения в формулу для площади: \[ S = 27 - 3 = 24. \]
Итак, площадь криволинейной трапеции составляет \( 24 \) квадратных единиц.
