Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной осью Ox прямыми x=-1 x=2 и параболой y=9-x2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми \( x = -1 \), \( x = 2 \) и параболой \( y = 9 - x^2 \), нужно выполнить следующие шаги: 1. **Найти точку пересечения параболы с осью Ox.** Это происходит, когда \( y = 0 \): \[ 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = -3 \text{ или } x = 3. \] Однако нас интересуют только значения \( x \) от -1 до 2. 2. **Вычислить площадь под параболой от \( x = -1 \) до \( x = 2 \).** Площадь вычисляется по интегралу: \[ S = \int_{-1}^{2} (9 - x^2) \, dx. \] 3. **Выразим интеграл:** \[ S = \int_{-1}^{2} 9 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx. \] Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности. Первый интеграл: \[ \int_{-1}^{2} 9 \, dx = 9[x]_{-1}^{2} = 9(2 - (-1)) = 9 \cdot 3 = 27. \] Второй интеграл: \[ \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3. \] 4. **Теперь подставим значения в формулу для площади:** \[ S = 27 - 3 = 24. \] Итак, площадь криволинейной трапеции составляет \( 24 \) квадратных единиц.