Вычислить интегралы

Для вычисления указанных интегралов нужно найти неопределённые интегралы от заданных функций. Рассмотрим каждый из них пошагово. ### 1. Интеграл \(\int_{-1}^{3} (4x - 1)^2 \, dx\) **Шаг 1: Разложение квадрата.** \[ (4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1 \] **Шаг 2: Интегрирование каждого слагаемого.** \[ \int (16x^2 - 8x + 1) \, dx = \int 16x^2 \, dx - \int 8x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = 16 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \] \[ = \frac{16}{3}x^3 - 4x^2 + x + C \] **Шаг 3: Вычисление определённого интеграла.** Подставим пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{16}{3}x^3 - 4x^2 + x \right]_{-1}^{3} \] Вычислим значения в пределах: \[ = \left( \frac{16}{3} \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 3 \right) - \left( \frac{16}{3} \cdot (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) \right) \] \[ = \left( \frac{16}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 9 + 3 \right) - \left( -\frac{16}{3} - 4 - 1 \right) \] \[ = \left( 144 - 36 + 3 \right) - \left( -\frac{16}{3} - 4 - 1 \right) \] \[ = 111 + \frac{16}{3} + 5 \] \[ = 111 + \frac{31}{3} \] \[ = \frac{333}{3} + \frac{31}{3} = \frac{364}{3} \] Итак, значение интеграла \(\int_{-1}^{3} (4x - 1)^2 \, dx = \frac{364}{3}\). ### 2. Интеграл \(\int_{-1}^{3} x^3 \, dx\) **Шаг 1: Интегрирование функции \(x^3\).** \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \] **Шаг 2: Вычисление определённого интеграла.** Подставим пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{3} \] Вычислим значения в пределах: \[ = \left( \frac{3^4}{4} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} \right) - \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20 \] Итак, значение интеграла \(\int_{-1}^{3} x^3 \, dx = 20\). **Ответы:** 1. \(\int_{-1}^{3} (4x - 1)^2 \, dx = \frac{364}{3}\) 2. \(\int_{-1}^{3} x^3 \, dx = 20\)