Вычислить интегралы
Для вычисления указанных интегралов нужно найти неопределённые интегралы от заданных функций. Рассмотрим каждый из них пошагово.
1. Интеграл \(\int_{-1}^{3} (4x - 1)^2 \, dx\)
Шаг 1: Разложение квадрата.
\[ (4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1 \]
Шаг 2: Интегрирование каждого слагаемого.
\[ \int (16x^2 - 8x + 1) \, dx = \int 16x^2 \, dx - \int 8x \, dx + \int 1 \, dx \]
\[ = 16 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \]
\[ = \frac{16}{3}x^3 - 4x^2 + x + C \]
Шаг 3: Вычисление определённого интеграла.
Подставим пределы интегрирования:
\[ \left[ \frac{16}{3}x^3 - 4x^2 + x \right]_{-1}^{3} \]
Вычислим значения в пределах:
\[ = \left( \frac{16}{3} \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 3 \right) - \left( \frac{16}{3} \cdot (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) \right) \]
\[ = \left( \frac{16}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 9 + 3 \right) - \left( -\frac{16}{3} - 4 - 1 \right) \]
\[ = \left( 144 - 36 + 3 \right) - \left( -\frac{16}{3} - 4 - 1 \right) \]
\[ = 111 + \frac{16}{3} + 5 \]
\[ = 111 + \frac{31}{3} \]
\[ = \frac{333}{3} + \frac{31}{3} = \frac{364}{3} \]
Итак, значение интеграла \(\int_{-1}^{3} (4x - 1)^2 \, dx = \frac{364}{3}\).
2. Интеграл \(\int_{-1}^{3} x^3 \, dx\)
Шаг 1: Интегрирование функции \(x^3\).
\[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \]
Шаг 2: Вычисление определённого интеграла.
Подставим пределы интегрирования:
\[ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{3} \]
Вычислим значения в пределах:
\[ = \left( \frac{3^4}{4} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} \right) \]
\[ = \left( \frac{81}{4} \right) - \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20 \]
Итак, значение интеграла \(\int_{-1}^{3} x^3 \, dx = 20\).
Ответы:
- \(\int_{-1}^{3} (4x - 1)^2 \, dx = \frac{364}{3}\)
- \(\int_{-1}^{3} x^3 \, dx = 20\)
