1)найти промежутки возрастания убывания extr функции 2) найти наименьшее значение функции на отрезке. y=3x² / 2-x на [-3;1]

Решим задачу, разбив её на две части, как указано в вопросе.

Часть 1: Промежутки возрастания и убывания функции

Для начала найдем производную функции \( y = \frac{3x^2}{2 - x} \). Это поможет нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

1. Найдем производную функции.
   Используем правило деления: если \( y = \frac{u}{v} \), то \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 3x^2 \) и \( v = 2 - x \).

   • Находим \( u' = 6x \) и \( v' = -1 \).
   • Подставляем в формулу:

   \[ y' = \frac{(6x)(2 - x) - (3x^2)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{12x - 6x^2 + 3x^2}{(2-x)^2} = \frac{12x - 3x^2}{(2-x)^2} \]

   Упростим производную:

   \[ y' = \frac{3x(4 - x)}{(2 - x)^2} \]

2. Найдем критические точки.
   Критические точки находятся там, где \( y' = 0 \) или где производная не определена.

   • Для \( y' = 0 \) находим:

   \[ 3x(4 - x) = 0 \]

   Это означает, что \( x = 0 \) или \( x = 4 \).

   • Проверим, где функция не определена. Функция не определена, когда \( 2 - x = 0 \) или \( x = 2 \).

3. Определим интервалы для анализа.
   Проверим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками \( x = 0 \), \( x = 2 \), и \( x = 4 \):

   • Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, 4) \), \( (4, +\infty) \).

4. Проверим знак производной на каждом интервале:

   • На \( (-\infty, 0) \): выберем \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{3(-1)(4 - (-1))}{(2 - (-1))^2} > 0 \quad \text{(возрастает)} \]

   • На \( (0, 2) \): выберем \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{3(1)(4 - 1)}{(2 - 1)^2} > 0 \quad \text{(возрастает)} \]

   • На \( (2, 4) \): выберем \( x = 3 \): \[ y'(3) = \frac{3(3)(4 - 3)}{(2 - 3)^2} < 0 \quad \text{(убывает)} \]

   • На \( (4, +\infty) \): выберем \( x = 5 \): \[ y'(5) = \frac{3(5)(4 - 5)}{(2 - 5)^2} < 0 \quad \text{(убывает)} \]

5. Подводим итоги:

   • Промежутки возрастания: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, 2) \).
   • Промежутки убывания: \( (2, 4) \) и \( (4, +\infty) \).

Часть 2: Наименьшее значение функции на отрезке \([-3, 1]\)

Теперь найдем наименьшее значение функции \( y = \frac{3x^2}{2 - x} \) на отрезке \([-3, 1]\).

1. Посчитаем значение функции в концах отрезка:

   • На \( x = -3 \): \[ y(-3) = \frac{3(-3)^2}{2 - (-3)} = \frac{27}{5} = 5.4 \]

   • На \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{3(1)^2}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \]

2. Обязательно проверим также критическую точку \( x = 0 \):

   • На \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{3(0)^2}{2 - 0} = 0 \]

3. Сравним все значения:

   • \( y(-3) = 5.4 \)
   • \( y(1) = 3 \)
   • \( y(0) = 0 \)

Наименьшее значение функции на отрезке \([-3, 1]\) — \( 0 \) при \( x = 0 \).

Ответ:

1. Промежутки возрастания: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, 2) \).
   Промежутки убывания: \( (2, 4) \) и \( (4, +\infty) \).

2. Наименьшее значение на отрезке \([-3, 1]\): \( 0 \) при \( x = 0 \).