Найди относительное число распавшихся ядер N0−NN0 радиоактивного элемента за время, равное 0,41 периода полураспада. (Ответ округли до сотых.)
Чтобы решить задачу о нахождении относительного числа распавшихся ядер радиоактивного элемента за время, равное 0,41 периода полураспада, мы сначала вспомним основные формулы и концепции, связанные с радиоактивным распадом.
Шаг 1: Понимание периода полураспада
Период полураспада (\( T_{1/2} \)) — это время, за которое распадается половина начального количества ядер радиоактивного вещества. Если начальное количество ядер обозначить как \( N_0 \), то через \( T_{1/2} \) останется:
\[ N = \frac{N_0}{2} \]
Шаг 2: Определение общего времени распада
В этой задаче нам дано, что рассматриваемая продолжительность времени равна \( 0,41 T_{1/2} \). То есть, за \( 0,41 \) периода полураспада мы можем определить, сколько ядер распадется.
Шаг 3: Формула радиоактивного распада
Общая формула для нахождения оставшегося количества ядер после времени \( t \) выглядит так:
\[ N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]
где \( \lambda \) — постоянная распада. Однако, так как мы знаем, что \( t = 0,41 T_{1/2} \), мы можем выразить \( \lambda \) через период полураспада:
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]
Шаг 4: Подстановка значений в формулу
Теперь подставим \( t = 0,41 T_{1/2} \):
\[ N = N_0 \cdot e^{-\left(\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}\right) \cdot (0,41 T_{1/2})} \]
Сократим \( T_{1/2} \):
\[ N = N_0 \cdot e^{-0,41 \ln(2)} \]
Обратите внимание, что \( e^{\ln(x)} = x \). Следовательно, у нас есть:
\[ N = N_0 \cdot 2^{-0,41} \]
Шаг 5: Вычисление \( 2^{-0,41} \)
Вычислим \( 2^{-0,41} \):
- \( 2^{0.41} \approx 1.3195 \)
- Соответственно, \( 2^{-0,41} \approx \frac{1}{1.3195} \approx 0.756 \)
Шаг 6: Нахождение распавшихся ядер
Теперь мы можем найти относительное количество распавшихся ядер. Если изначально у нас было \( N_0 \), то количество распавшихся ядер будет:
\[ N_0 - N = N_0 - N_0 \cdot 2^{-0,41} = N_0 \cdot (1 - 2^{-0,41}) \]
Подставим значение:
\[ N_0 \cdot (1 - 0.756) = N_0 \cdot 0.244 \]
Шаг 7: Окончательный ответ
Таким образом, относительное число распавшихся ядер за время, равное \( 0,41 \) периода полураспада, составляет примерно \( 0.24N_0 \) (округлено до сотых).
Ответ: 0.24 (относительное число распавшихся ядер)
