В квадрат, сторона которого равна 24 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой…

Рассмотрим первый квадрат со стороной \( a_1 = 24 \) см. Его площадь будет:

\[ S_1 = a_1^2 = 24^2 = 576 \text{ см}^2. \]

Теперь во второй квадрат, который вписан в первый, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, каждая сторона второго квадрата равна длине диагонали прямоугольника с высотой и шириной, равными половине стороны первого квадрата.

Длина стороны второго квадрата \( a_2 \) находим по формуле:

\[ a_2 = \frac{a_1}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \text{ см}. \]

Площадь второго квадрата:

\[ S_2 = a_2^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288 \text{ см}^2. \]

Следующий квадрат также будет вписан таким образом, и его сторона будет равняться:

\[ a_3 = \frac{a_2}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12 \text{ см}. \]

Площадь третьего квадрата:

\[ S_3 = a_3^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2. \]

Площадь следующего квадрата:

\[ a_4 = \frac{a_3}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \text{ см}, \]

\[ S_4 = a_4^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72 \text{ см}^2. \]

Поскольку каждый следующий квадрат будет иметь площадь, выражающуюся как \( \frac{1}{2} \) от площади предыдущего, можем обобщить:

\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{2}, \]

где \( S_1 = 576 \text{ см}^2 \).

Сумма площадей всех квадратов будет бесконечной, и ее можно представить в виде геометрической прогрессии, где:

• первый элемент \( a = S_1 = 576 \),
• отношение прогрессии \( r = \frac{1}{2} \).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{576}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{576}{\frac{1}{2}} = 576 \times 2 = 1152 \text{ см}^2. \]

Таким образом, сумма площадей всех квадратов равна:

\[ \boxed{1152} \text{ см}^2. \]