Составить уравнение касательной к графику функции у=х+2 черта дроби 3-х в точке х0=2

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = x + 2 - \frac{3}{x} \) в точке \( x_0 = 2 \), нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти координату точки касания Первым делом мы подставим \( x_0 = 2 \) в функцию, чтобы найти \( y \): \[ y = 2 + 2 - \frac{3}{2} \] Сначала вычислим \( \frac{3}{2} \): \[ \frac{3}{2} = 1.5 \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ y = 2 + 2 - 1.5 = 2.5 \] Получили координаты точки касания: \( (2, 2.5) \). ### Шаг 2: Найти производную функции Чтобы найти угол наклона касательной, нужны производные. Рассчитаем производную \( y \) по \( x \): Функция представляется в виде: \[ y = x + 2 - \frac{3}{x} \] Найдём производную: \[ \frac{dy}{dx} = 1 + 0 + \frac{3}{x^2} \] ### Шаг 3: Вычислить производную в точке \( x_0 = 2 \) Теперь подставим \( x = 2 \) в производную для нахождения угла наклона касательной: \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=2} = 1 + \frac{3}{2^2} = 1 + \frac{3}{4} = 1 + 0.75 = 1.75 \] ### Шаг 4: Записать уравнение касательной Уравнение касательной можно записать в форме: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( m \) — наклон касательной (то есть производная), а \( (x_0, y_0) \) — координаты точки касания. В нашем случае: - \( m = 1.75 \) - \( (x_0, y_0) = (2, 2.5) \) Подставляем значения в формулу: \[ y - 2.5 = 1.75(x - 2) \] ### Шаг 5: Привести уравнение касательной к удобному виду Раскроем скобки: \[ y - 2.5 = 1.75x - 3.5 \] Теперь добавим \( 2.5 \) к обеим сторонам уравнения: \[ y = 1.75x - 3.5 + 2.5 \] \[ y = 1.75x - 1 \] ### Ответ Уравнение касательной к графику функции \( y = x + 2 - \frac{3}{x} \) в точке \( x_0 = 2 \) будет: \[ y = 1.75x - 1 \] Это уравнение показывает, как изменяется \( y \) в зависимости от \( x \) в окрестности точки касания.