Составить уравнение касательной к графику функции у=х+2 черта дроби 3-х в точке х0=2
Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = x + 2 - \frac{3}{x} \) в точке \( x_0 = 2 \), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти координату точки касания
Первым делом мы подставим \( x_0 = 2 \) в функцию, чтобы найти \( y \):
\[ y = 2 + 2 - \frac{3}{2} \]
Сначала вычислим \( \frac{3}{2} \):
\[ \frac{3}{2} = 1.5 \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ y = 2 + 2 - 1.5 = 2.5 \]
Получили координаты точки касания: \( (2, 2.5) \).
Шаг 2: Найти производную функции
Чтобы найти угол наклона касательной, нужны производные. Рассчитаем производную \( y \) по \( x \):
Функция представляется в виде:
\[ y = x + 2 - \frac{3}{x} \]
Найдём производную:
\[ \frac{dy}{dx} = 1 + 0 + \frac{3}{x^2} \]
Шаг 3: Вычислить производную в точке \( x_0 = 2 \)
Теперь подставим \( x = 2 \) в производную для нахождения угла наклона касательной:
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=2} = 1 + \frac{3}{2^2} = 1 + \frac{3}{4} = 1 + 0.75 = 1.75 \]
Шаг 4: Записать уравнение касательной
Уравнение касательной можно записать в форме:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
где \( m \) — наклон касательной (то есть производная), а \( (x_0, y_0) \) — координаты точки касания. В нашем случае:
- \( m = 1.75 \)
- \( (x_0, y_0) = (2, 2.5) \)
Подставляем значения в формулу:
\[ y - 2.5 = 1.75(x - 2) \]
Шаг 5: Привести уравнение касательной к удобному виду
Раскроем скобки:
\[ y - 2.5 = 1.75x - 3.5 \]
Теперь добавим \( 2.5 \) к обеим сторонам уравнения:
\[ y = 1.75x - 3.5 + 2.5 \]
\[ y = 1.75x - 1 \]
Ответ
Уравнение касательной к графику функции \( y = x + 2 - \frac{3}{x} \) в точке \( x_0 = 2 \) будет:
\[ y = 1.75x - 1 \]
Это уравнение показывает, как изменяется \( y \) в зависимости от \( x \) в окрестности точки касания.
