Составить уравнение касательной к графику у=х+2/3-х в точке х0=2

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = \frac{x + 2}{3 - x} \) в точке \( x_0 = 2 \), нам нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти координаты точки касания Сначала мы подставим \( x_0 = 2 \) в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение \( y \). \[ y_0 = \frac{2 + 2}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4 \] Таким образом, координаты точки касания \( (x_0, y_0) \) равны \( (2, 4) \). ### Шаг 2: Найти производную функции Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции \( y \). Функция представлена как дробь, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования дроби. Формула для производной дроби \( \frac{u}{v} \) выглядит так: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Где \( u = x + 2 \) и \( v = 3 - x \). Находим производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = 1, \quad v' = -1 \] Теперь подставляем в формулу: \[ y' = \frac{(1)(3 - x) - (x + 2)(-1)}{(3 - x)^2} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{3 - x + x + 2}{(3 - x)^2} = \frac{5}{(3 - x)^2} \] ### Шаг 3: Вычислить производную в точке \( x_0 = 2 \) Теперь подставим \( x = 2 \) в производную, чтобы найти угловой коэффициент: \[ y'(2) = \frac{5}{(3 - 2)^2} = \frac{5}{1} = 5 \] ### Шаг 4: Составить уравнение касательной Уравнение касательной можно записать в виде: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Где \( m \) — угловой коэффициент касательной. Подставим найденные значения: \[ y - 4 = 5(x - 2) \] Теперь упростим уравнение: \[ y - 4 = 5x - 10 \] \[ y = 5x - 6 \] ### Ответ Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( y = \frac{x + 2}{3 - x} \) в точке \( x_0 = 2 \) равно: \[ y = 5x - 6 \]