составить уравнение касательной к графику у=х+2/3-х в точке х0=2

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = \frac{x + 2}{3 - x} \) в точке \( x_0 = 2 \), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти координаты точки касания

Сначала мы подставим \( x_0 = 2 \) в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение \( y \).

\[ y_0 = \frac{2 + 2}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4 \]

Таким образом, координаты точки касания \( (x_0, y_0) \) равны \( (2, 4) \).

Шаг 2: Найти производную функции

Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции \( y \). Функция представлена как дробь, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования дроби.

Формула для производной дроби \( \frac{u}{v} \) выглядит так:

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Где \( u = x + 2 \) и \( v = 3 - x \).

Находим производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = 1, \quad v' = -1 \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ y' = \frac{(1)(3 - x) - (x + 2)(-1)}{(3 - x)^2} \]

Упростим выражение:

\[ y' = \frac{3 - x + x + 2}{(3 - x)^2} = \frac{5}{(3 - x)^2} \]

Шаг 3: Вычислить производную в точке \( x_0 = 2 \)

Теперь подставим \( x = 2 \) в производную, чтобы найти угловой коэффициент:

\[ y'(2) = \frac{5}{(3 - 2)^2} = \frac{5}{1} = 5 \]

Шаг 4: Составить уравнение касательной

Уравнение касательной можно записать в виде:

\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]

Где \( m \) — угловой коэффициент касательной. Подставим найденные значения:

\[ y - 4 = 5(x - 2) \]

Теперь упростим уравнение:

\[ y - 4 = 5x - 10 \] \[ y = 5x - 6 \]

Ответ

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( y = \frac{x + 2}{3 - x} \) в точке \( x_0 = 2 \) равно:

\[ y = 5x - 6 \]