по данным технического контроля 5% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. найти вероятность того что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной…

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для биномиального распределения, так как задача связана с вероятностью определенного количества успешных исходов (в данном случае - станков, нуждающихся в регулировке) в фиксированном числе испытаний (изготовленных станков).

Данные задачи:

• Вероятность, что один станок нуждается в регулировке \( p = 0.05 \).
• Вероятность, что один станок не нуждается в регулировке \( q = 1 - p = 0.95 \).
• Количество станков \( n = 6 \).
• Количество станков, нуждающихся в регулировке \( k = 4 \).

Формула биномиального распределения

Вероятность того, что из \( n \) независимых испытаний \( k \) окончаний успешны (т.е. станки требуют регулировки) можно вычислить по следующей формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаги решения

1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(6, 4) = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

2. Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot p^4 \cdot q^{(6-4)} \] \[ = 15 \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^{2} \]

3. Рассчитаем каждую часть:

   • \( (0.05)^4 = 0.00000625 \)
   • \( (0.95)^2 = 0.9025 \)

4. Подставим результаты: \[ P(X = 4) = 15 \cdot 0.00000625 \cdot 0.9025 \] \[ = 15 \cdot 0.000005640625 = 0.000084609375 \]

5. Округляем до ста тысячных: \[ P(X = 4) \approx 0.000085 \]

Ответ

Вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке составляет примерно 0.000085.