Для решения задачи о вероятности регистрации частицы, пролетевшей мимо пяти счётчиков, можно использовать биномиальное распределение.
Шаг 1: Определение параметров
- Количество счётчиков (n) = 5
- Вероятность регистрации частицы каждым счётчиком (p) = 0.75
- Вероятность того, что счётчик не зарегистрирует частицу (q) = 1 - p = 0.25
- Минимальное количество счётчиков, которые должны зарегистрировать частицу для её успешной регистрации (k) = 2
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из n испытаний (в нашем случае — мимо 5 счётчиков) получится ровно k успехов (в нашем случае — регистрации частицы) описывается формулой биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- (C(n, k)) = (\frac{n!}{k!(n-k)!}) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать k успешных исходов из n попыток),
- (p) — вероятность успеха (0.75),
- (q) — вероятность неуспеха (0.25).
Шаг 3: Вычисление полной вероятности
Так как нужно найти вероятность того, что частицу зарегистрируют не менее 2 счётчика (то есть (P(X \geq 2))), мы можем воспользоваться свойством вероятностей:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
]
Теперь нам нужно найти (P(X = 0)) и (P(X = 1)).
Вычисление (P(X = 0)):
[
P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.75)^0 \cdot (0.25)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.25^5 = 0.25^5 = 0.0009765625
]
Вычисление (P(X = 1)):
[
P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.75)^1 \cdot (0.25)^4 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.25^4 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.000390625 = 0.00146484375
]
Шаг 4: Суммирование вероятностей
Теперь суммируем вероятности (P(X = 0)) и (P(X = 1)):
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.0009765625 + 0.00146484375 = 0.00244140625
]
Шаг 5: Финальный расчет
Теперь вычислим вероятность того, что частицу зарегистрируют:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.00244140625 = 0.99755859375
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что частица будет зарегистрирована как минимум двумя счетчиками, составляет примерно 0.9976 или 99.76%.
