Задача 7: Решите уравнение ( \log_2(3x - 6) = 3 )
Шаг 1: Переведем логарифмическое уравнение в экспоненциальное
Уравнение ( \log_2(3x - 6) = 3 ) означает, что:
[
3x - 6 = 2^3
]
Шаг 2: Вычислим (2^3)
[
2^3 = 8
]
Так что уравнение преобразуется в:
[
3x - 6 = 8
]
Шаг 3: Переносим числа в одном уравнении
Добавим 6 к обеим сторонам уравнения:
[
3x = 8 + 6
]
[
3x = 14
]
Шаг 4: Найдем значение (x)
Теперь разделим обе стороны на 3:
[
x = \frac{14}{3}
]
Шаг 5: Проверка
Проверим, подходит ли найденное значение для исходного уравнения:
(3x - 6 = 3 \cdot \frac{14}{3} - 6 = 14 - 6 = 8)
Теперь найдем логарифм:
(\log_2(8) = 3)
Так как уравнение выполнено, то ответом является:
[
x = \frac{14}{3}
]
Задача 8: Найдите производную заданной функции ( f(x) = \log_3(2x - 4) + \ln(x) )
Шаг 1: Применим правила производной
Чтобы найти производную, воспользуемся производными логарифмических функций:
- Для ( \log_a(u) ): ( \frac{d}{dx} [\log_a(u)] = \frac{1}{u \cdot \ln(a)} \cdot \frac{du}{dx} )
- Для ( \ln(u) ): ( \frac{d}{dx} [\ln(u)] = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} )
Шаг 2: Найдем производную первой части функции
Функция ( f(x) ) записывается следующим образом:
[
f(x) = \log_3(2x - 4) + \ln(x)
]
Для первой части, ( \log_3(2x - 4) ):
Пусть ( u = 2x - 4 ), тогда ( \frac{du}{dx} = 2 ).
Теперь применим правило:
[
\frac{d}{dx} [\log_3(2x - 4)] = \frac{1}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} \cdot 2 = \frac{2}{(2x - 4) \cdot \ln(3)}
]
Шаг 3: Найдем производную второй части функции
Для ( \ln(x) ):
[
\frac{d}{dx} [\ln(x)] = \frac{1}{x}
]
Шаг 4: Объединение производных
Теперь объединим оба результата:
[
f'(x) = \frac{2}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} + \frac{1}{x}
]
Это и будет производная функции ( f(x) ).
Ответ
[
f'(x) = \frac{2}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} + \frac{1}{x}
]
