7. Решите уравнение log_2(3x - 6) = 3 8. Найдите производную заданной функции: f(x) = log_3(2x - 4) + ln(x)
Задача 7: Решите уравнение \( \log_2(3x - 6) = 3 \)
Шаг 1: Переведем логарифмическое уравнение в экспоненциальное
Уравнение \( \log_2(3x - 6) = 3 \) означает, что:
\[ 3x - 6 = 2^3 \]
Шаг 2: Вычислим \(2^3\)
\[ 2^3 = 8 \]
Так что уравнение преобразуется в:
\[ 3x - 6 = 8 \]
Шаг 3: Переносим числа в одном уравнении
Добавим 6 к обеим сторонам уравнения:
\[ 3x = 8 + 6 \]
\[ 3x = 14 \]
Шаг 4: Найдем значение \(x\)
Теперь разделим обе стороны на 3:
\[ x = \frac{14}{3} \]
Шаг 5: Проверка
Проверим, подходит ли найденное значение для исходного уравнения:
\(3x - 6 = 3 \cdot \frac{14}{3} - 6 = 14 - 6 = 8\)
Теперь найдем логарифм:
\(\log_2(8) = 3\)
Так как уравнение выполнено, то ответом является:
\[ x = \frac{14}{3} \]
Задача 8: Найдите производную заданной функции \( f(x) = \log_3(2x - 4) + \ln(x) \)
Шаг 1: Применим правила производной
Чтобы найти производную, воспользуемся производными логарифмических функций:
- Для \( \log_a(u) \): \( \frac{d}{dx} [\log_a(u)] = \frac{1}{u \cdot \ln(a)} \cdot \frac{du}{dx} \)
- Для \( \ln(u) \): \( \frac{d}{dx} [\ln(u)] = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \)
Шаг 2: Найдем производную первой части функции
Функция \( f(x) \) записывается следующим образом:
\[ f(x) = \log_3(2x - 4) + \ln(x) \]
Для первой части, \( \log_3(2x - 4) \):
Пусть \( u = 2x - 4 \), тогда \( \frac{du}{dx} = 2 \).
Теперь применим правило:
\[ \frac{d}{dx} [\log_3(2x - 4)] = \frac{1}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} \cdot 2 = \frac{2}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} \]
Шаг 3: Найдем производную второй части функции
Для \( \ln(x) \):
\[ \frac{d}{dx} [\ln(x)] = \frac{1}{x} \]
Шаг 4: Объединение производных
Теперь объединим оба результата:
\[ f'(x) = \frac{2}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} + \frac{1}{x} \]
Это и будет производная функции \( f(x) \).
Ответ
\[ f'(x) = \frac{2}{(2x - 4) \cdot \ln(3)} + \frac{1}{x} \]
