Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «сумма выпавших очков больше 5 5 ». Составь таблицу случайного эксперимента…
Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «сумма выпавших очков больше 5 5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P ( A ∩ B ) P(A∩B).
Давайте разберем вашу задачу, шаг за шагом, чтобы все стало понятно.
Задача
Мы бросаем игральный кубик два раза. Событие \( A \) — «при втором броске выпало меньше очков», событие \( B \) — «сумма выпавших очков больше 5». Нам нужно составить таблицу случайного эксперимента и найти вероятность \( P(A \cap B) \).
Шаг 1: Определим все возможные результаты двух бросков кубика
При каждом броске кубика мы можем получить от 1 до 6 очков. Давайте обозначим результаты как \( (x, y) \), где \( x \) — результат первого броска, а \( y \) — результат второго броска.
Список всех возможных результатов:
\[ \begin{align*} (1, 1) & , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) \\ (2, 1) & , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) \\ (3, 1) & , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) \\ (4, 1) & , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (4, 6) \\ (5, 1) & , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) \\ (6, 1) & , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6) \\ \end{align*} \]
Шаг 2: Построим таблицу
| Первый бросок (x) | Второй бросок (y) | Сумма (x + y) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 1 | 4 | 5 |
| 1 | 5 | 6 |
| 1 | 6 | 7 |
| 2 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 7 |
| 2 | 6 | 8 |
| 3 | 1 | 4 |
| 3 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | 7 |
| 3 | 5 | 8 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 1 | 5 |
| 4 | 2 | 6 |
| 4 | 3 | 7 |
| 4 | 4 | 8 |
| 4 | 5 | 9 |
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 1 | 6 |
| 5 | 2 | 7 |
| 5 | 3 | 8 |
| 5 | 4 | 9 |
| 5 | 5 | 10 |
| 5 | 6 | 11 |
| 6 | 1 | 7 |
| 6 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 9 |
| 6 | 4 | 10 |
| 6 | 5 | 11 |
| 6 | 6 | 12 |
Всего возможных исходов: \( 6 \times 6 = 36 \).
Шаг 3: Определим события A и B
Событие A: Второй бросок меньше первого.
Считаем такие сочетания:
- \( (2, 1) \)
- \( (3, 1) \)
- \( (3, 2) \)
- \( (4, 1) \)
- \( (4, 2) \)
- \( (4, 3) \)
- \( (5, 1) \)
- \( (5, 2) \)
- \( (5, 3) \)
- \( (5, 4) \)
- \( (6, 1) \)
- \( (6, 2) \)
- \( (6, 3) \)
- \( (6, 4) \)
- \( (6, 5) \)
Итог: \( |A| = 15 \).
Событие B: Сумма больше 5.
Смотрим на суммы:
- Всего возможные (как видно из таблицы) комбинации, где сумма больше 5: \( 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \).
Итак, комбинации, для которых \( x + y > 5 \):
- \( (1, 5) \)
- \( (1, 6) \)
- \( (2, 4) \)
- \( (2, 5) \)
- \( (2, 6) \)
- \( (3, 3) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (3, 5) \)
- \( (3, 6) \)
- \( (4, 2) \)
- \( (4, 3) \)
- \( (4, 4) \)
- \( (4, 5) \)
- \( (4, 6) \)
- \( (5, 1) \)
- \( (5, 2) \)
- \( (5, 3) \)
- \( (5, 4) \)
- \( (5, 5) \)
- \( (5, 6) \)
- \( (6, 1) \)
- \( (6, 2) \)
- \( (6, 3) \)
- \( (6, 4) \)
- \( (6, 5) \)
- \( (6, 6) \)
Итого: \( |B| = 21 \).
Шаг 4: Найдем пересечение событий A и B (\( A \cap B \))
Теперь ищем всё, что соответствует обоим событиям.
Смотрим комбинации из события \( A \):
- \( (2, 1) \) (сумма 3, не подходит)
- \( (3, 1) \) (сумма 4, не подходит)
- \( (3, 2) \) (сумма 5, не подходит)
- \( (4, 1) \) (сумма 5, не подходит)
- \( (4, 2) \) (сумма 6, подходит)
- \( (4, 3) \) (сумма 7, подходит)
- \( (5, 1) \) (сумма 6, подходит)
- \( (5, 2) \) (сумма 7, подходит)
- \( (5, 3) \) (сумма 8, подходит)
- \( (5, 4) \) (сумма 9, подходит)
- \( (6, 1) \) (сумма 7, подходит)
- \( (6, 2) \) (сумма 8, подходит)
- \( (6, 3) \) (сумма 9, подходит)
- \( (6, 4) \) (сумма 10, подходит)
- \( (6, 5) \) (сумма 11, подходит)
Итак, пересечение \( |A \cap B| = 9 \).
Шаг 5: Найдем вероятность события \( P(A \cap B) \)
Вероятность \( P(A \cap B) \) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
\[ P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|S|} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \]
Ответ
Вероятность \( P(A \cap B) = \frac{1}{4} \).
