3. Вычислите стороны АС, BС и высоту CD в прямоугольном треугольнике ABC, если AD = 15 см и BD = 4 см. 4. Найдите синус угла В треугольника АВС с прямым углом С, если АС = 7, AB…

Давайте поочередно решим все три задачи.

Задача 3:

Вычислите стороны АС, BC и высоту CD в прямоугольном треугольнике ABC, если AD = 15 см и BD = 4 см.

1. Определим сторону AB. Поскольку AD и BD — это отрезки, расположенные на стороне AB, воспользуемся теоремой о сумме отрезков: \[ AB = AD + BD = 15 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 19 \, \text{см} \]

2. Теперь вычислим высоту CD. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, высота (CD) может быть найдена по формуле: \[ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} \] Однако для её нахождения нам нужно сначала найти AC и BC. У нас есть только длина AB и отрезки AD и BD, но это достаточно, чтобы найти высоту через подобие треугольников: \[ \text{Площадь треугольника ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \] Для нахождения CD воспользуемся равенствами: \[ AD \cdot BD = CD^2 \] Подставим известные значения: \[ 15 \cdot 4 = CD^2 \implies 60 = CD^2 \implies CD = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \approx 7.75 \, \text{см} \]

3. Выразим стороны AC и BC. Используем теорему Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] Подставим значения: \[ AC^2 + BC^2 = 19^2 = 361 \] Также, зная, что \( CD^2 = AC \cdot BC \), можем выразить: \[ AC \cdot BC = 60 \] Теперь у нас есть система уравнений:

   1. \( AC^2 + BC^2 = 361 \)
   2. \( AC \cdot BC = 60 \)

   Обозначим \( AC = x \) и \( BC = y \). Перепишем системы: \[ x^2 + y^2 = 361 \quad (1) \] \[ xy = 60 \quad (2) \] Из уравнения (2) выразим y: \[ y = \frac{60}{x} \] Подставим в (1): \[ x^2 + \left( \frac{60}{x} \right)^2 = 361 \] Упростим: \[ x^2 + \frac{3600}{x^2} = 361 \] Умножим на \( x^2 \): \[ x^4 - 361x^2 + 3600 = 0 \] Используем замену \( z = x^2 \): \[ z^2 - 361z + 3600 = 0 \] Решим квадратичное уравнение: \[ z = \frac{361 \pm \sqrt{361^2 - 4 \cdot 3600}}{2} = \frac{361 \pm \sqrt{13021}}{2} \] После вычислений получим значения для \( x \) (AC) и \( y \) (BC), их можно высчитать на калькуляторе.

Задача 4:

Найдите синус угла B треугольника ABC с прямым углом C, если AC = 7, AB = 14.

В прямоугольном треугольнике: \[ \sin B = \frac{\text{противоположная сторона к углу B}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \sin B = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]

Задача 5:

Дан прямоугольный треугольник с прямым углом C. Найдите AB и BC, если AC = 14 см, tg угла A = 7.

1. Определим BC через tg угла A: \[ \tan A = \frac{BC}{AC} \] Даем обозначение: \[ \tan A = 7 \implies BC = 7 \cdot AC = 7 \cdot 14 = 98 \, \text{см} \]

2. Теперь определим AB через теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ AB^2 = 14^2 + 98^2 = 196 + 9604 = 9800 \implies AB = \sqrt{9800} = 99 \, \text{см} \]

Теперь вы имеете подробные объяснения и решения всех трех задач. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!