построить график функции у=-х^2+4х
Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 4x \), давайте сначала разберемся со свойствами этой функции.
Шаг 1: Приведение функции к стандартному виду
Функция имеет вид квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \). В данном случае:
- \( a = -1 \)
- \( b = 4 \)
- \( c = 0 \)
Чтобы лучше понять поведение функции, мы можем преобразовать уравнение к виду "вершина параболы" (форме \( y = a(x - h)^2 + k \)), где точка \((h, k)\) — это вершина параболы.
Шаг 2: Нахождение координат вершины
Формула для нахождения координат \( x \)-координаты вершины квадратичной функции: \[ h = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем \( a = -1 \) и \( b = 4 \): \[ h = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \]
Теперь мы можем найти \( y \)-координату вершины, подставив \( h \) обратно в уравнение функции: \[ y = - (2^2) + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \((2, 4)\).
Шаг 3: Определение направления и ширины параболы
Так как \( a = -1 \) (отрицательное значение), график будет направлен вниз, и это означает, что вершина является максимальной точкой.
Шаг 4: Нахождение пересечений с осями
Пересечение с осью \( y \): Для нахождения точки пересечения с осью \( y \), приравниваем \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0 \] Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) — это \((0, 0)\).
Пересечение с осью \( x \): Для нахождения точек пересечения с осью \( x \) приравниваем \( y = 0 \): \[ 0 = -x^2 + 4x \implies 0 = x(-x + 4) \] Это уравнение дает два корня:
- \( x = 0 \)
- \( x = 4 \) Таким образом, точки пересечения с осью \( x \) — это \((0, 0)\) и \((4, 0)\).
Шаг 5: Построение графика
Теперь у нас есть все необходимые точки:
- Вершина: \((2, 4)\)
- Точки пересечения с осью \( x \): \((0, 0)\) и \((4, 0)\)
- Точка пересечения с осью \( y \): \((0, 0)\)
График функции будет выглядеть как перевернутая парабола, вершина которой направлена вниз и проходит через указанные точки.
Шаг 6: Рисуем график
На графике по оси \( x \) отметьте точки \( 0 \) и \( 4 \). По оси \( y \) отметьте точку \( 4 \). Соедините эти точки, чтобы изобразить параболу, направленную вниз и имеющую вершину в точке \((2, 4)\).
Теперь вы можете видеть, как выглядит график функции \( y = -x^2 + 4x \).
