y=2tgx

Чтобы понять, как работает функция \( y = 2 \tan x \), давай разберем ее по этапам.

Шаг 1: Определение функции

Функция тангенс \( \tan x \) является тригонометрической функцией, которая определяется как отношение синуса и косинуса:

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

Это означает, что тангенс дает значение, равное отношениям вертикальной и горизонтальной координат точки на единичной окружности.

Шаг 2: Умножение на 2

В нашем уравнении у нас есть множитель 2:

\[ y = 2 \tan x \]

Это означает, что мы просто умножаем значение \( \tan x \) на 2. Следовательно, вся функция будет "растянута" вертикально в 2 раза.

Шаг 3: Определение области определения

Функция тангенс не определена, когда \( \cos x = 0 \) — в этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты. Поскольку \( \tan x \) не существует для углов:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

это означает, что \( y = 2 \tan x \) также не определена в этих точках.

Шаг 4: Поведение функции

• Когда \( x \) приближается к \( \frac{\pi}{2} \) справа, \( \tan x \) стремится к \( +\infty \), соответственно \( y \) тоже стремится к \( +\infty \).
• Когда \( x \) приближается к \( \frac{\pi}{2} \) слева, \( \tan x \) стремится к \( -\infty \), и \( y \) тоже стремится к \( -\infty \).

Шаг 5: График функции

График функции \( y = 2 \tan x \) будет похож на график функции \( y = \tan x \), но будет расширен по вертикали.

• Одна петля функции \( \tan x \) охватывает от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \).
• График функции \( y = 2 \tan x \) будет иметь такие же асимптоты и будет пересекать ось \( y \) в начале координат \( (0, 0) \).

Шаг 6: Значения функции

Для нескольких значений \( x \):

• Если \( x = 0 \), то \( y = 2 \tan(0) = 0 \).
• Если \( x = \frac{\pi}{4} \), то \( y = 2 \tan(\frac{\pi}{4}) = 2 \).
• Если \( x = \frac{3\pi}{4} \), тогда \( y = 2 \tan(\frac{3\pi}{4}) = -2 \).

Заключение

Функция \( y = 2 \tan x \) является периодической, с периодом \( \pi \) и имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) — любое целое число. Понимание этих свойств поможет вам лучше работать с этой функцией и её графиком. Если у вас есть конкретные вопросы или примеры для решения, не стесняйтесь обращаться!