Решить задачу

Давайте разберем каждую задачу пошагово.

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки \( B(2, 6) \) и \( C(4, 10) \).

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки, сначала нужно найти её наклон (\( k \)):

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 6}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Зная наклон и одну из точек, можно записать уравнение прямой в точечной форме: \( y - y_1 = k(x - x_1) \). Подставим \( (2, 6) \) и \( k = 2 \):

\[ y - 6 = 2(x - 2) \]

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

\[ y - 6 = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2x + 2 \]

Итак, уравнение прямой: \( y = 2x + 2 \).

2. Найти косинус угла между векторами \( \vec{a}(1, 4) \) и \( \vec{b}(5, -2) \).

Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

Скалярное произведение векторов:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 5 + 4 \cdot (-2) = 5 - 8 = -3 \]

Модуль векторов:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

Подставляем в формулу:

\[ \cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{29}} \]

3. Решить систему уравнений \(\begin{cases} 3x - 8y = 4 \\ x + 7y = 5 \end{cases}\) по формулам Крамера.

Формулы Крамера использует определители. Сначала составим общий определитель (\( D \)):

\[ D = \begin{vmatrix} 3 & -8 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 3 \cdot 7 - (-8) \cdot 1 = 21 + 8 = 29 \]

Теперь найдем \( D_x \) и \( D_y \):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 4 & -8 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 4 \cdot 7 - (-8) \cdot 5 = 28 + 40 = 68 \]

\[ D_y = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 1 = 15 - 4 = 11 \]

Решения для \( x \) и \( y \):

\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{68}{29} \approx 2.34 \]

\[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{11}{29} \approx 0.379 \]

4. Найти определители:

Для матрицы \( \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \):

\[ \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 3 = 8 - 15 = -7 \]

5. Вычислить производную функции \( 9x^5 + 3x^3 + x^2 + 2x + 5 \).

Производная многочлена вычисляется по формуле: \( (ax^n)' = nax^{n-1} \).

Для каждого члена:

\[ (9x^5)' = 45x^4 \]

\[ (3x^3)' = 9x^2 \]

\[ (x^2)' = 2x \]

\[ (2x)' = 2 \]

Константа производной равна нулю, поэтому:

Производная функции:

\[ 45x^4 + 9x^2 + 2x + 2 \]

Вот как можно решить каждую из задач. Если у вас есть дополнительные вопросы или другая задача, дайте знать!