Реши задачу

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства логарифмов. Рассмотрим данные:

\[ a = \log_2 3 \] \[ b = \log_2 5 \]

Требуется найти \(\log_{15} 75\) в терминах \(a\) и \(b\).

Сначала разложим \(\log_{15} 75\) с использованием свойств логарифмов:

\[ \log_{15} 75 = \frac{\log_{2} 75}{\log_{2} 15} \]

Разложим числа 75 и 15 на простые множители:

\[ 75 = 3 \times 5^2 \] \[ 15 = 3 \times 5 \]

Теперь подставим эти значения:

\[ \log_{2} 75 = \log_{2} (3 \times 5^2) = \log_{2} 3 + 2\log_{2} 5 \] \[ \log_{2} 15 = \log_{2} (3 \times 5) = \log_{2} 3 + \log_{2} 5 \]

Теперь, используя выражения для \(a\) и \(b\):

\[ \log_{2} 75 = a + 2b \] \[ \log_{2} 15 = a + b \]

Теперь подставим в выражение для \(\log_{15} 75\):

\[ \log_{15} 75 = \frac{a + 2b}{a + b} \]

Это выражение соответствует варианту ответа:

\[ \boxed{\text{A) } \frac{a + 2b}{a + b}} \]

Таким образом, правильный ответ — A.