Для решения этой задачи необходимо использовать свойства логарифмов. Рассмотрим данные:
[ a = \log_2 3 ]
[ b = \log_2 5 ]
Требуется найти (\log_{15} 75) в терминах (a) и (b).
Сначала разложим (\log_{15} 75) с использованием свойств логарифмов:
[ \log_{15} 75 = \frac{\log_{2} 75}{\log_{2} 15} ]
Разложим числа 75 и 15 на простые множители:
[ 75 = 3 \times 5^2 ]
[ 15 = 3 \times 5 ]
Теперь подставим эти значения:
[ \log_{2} 75 = \log_{2} (3 \times 5^2) = \log_{2} 3 + 2\log_{2} 5 ]
[ \log_{2} 15 = \log_{2} (3 \times 5) = \log_{2} 3 + \log_{2} 5 ]
Теперь, используя выражения для (a) и (b):
[ \log_{2} 75 = a + 2b ]
[ \log_{2} 15 = a + b ]
Теперь подставим в выражение для (\log_{15} 75):
[ \log_{15} 75 = \frac{a + 2b}{a + b} ]
Это выражение соответствует варианту ответа:
[ \boxed{\text{A) } \frac{a + 2b}{a + b}} ]
Таким образом, правильный ответ — A.
