Реши задачу

Для решения задачи рассмотрим уравнение окружности: \[ x^2 - 6x + y^2 - 8y - 11 = 0 \] Это уравнение окружности в стандартной форме. Давайте сначала приведем его к каноническому виду \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). 1. **Приведем уравнение к каноническому виду:** Уравнение имеет вид \( x^2 - 6x + y^2 - 8y = 11 \). Для приведения нужно выполнить уравнивание полного квадрата. **По \(x\):** - \(x^2 - 6x\) можно представить как \((x - 3)^2 - 9\). **По \(y\):** - \(y^2 - 8y\) можно представить как \((y - 4)^2 - 16\). Подставим в уравнение и упростим: \((x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 = 11\) \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36\) Следовательно, центр окружности \((3, 4)\) и радиус \(r = 6\). 2. **Найдем расстояние от точки до прямой:** Теперь у нас есть прямая \[ y = \frac{1}{2}x + 9 \]. Для нахождения расстояния от точки (\(3, 10\)) до этой прямой используем формулу: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \( A = -\frac{1}{2} \), \( B = 1 \), \( C = -9 \), точка \( (x_1, y_1) = (3, 10) \). \[ d = \frac{\left| -\frac{1}{2}\cdot3 + 1\cdot10 - 9 \right|}{\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{\left| -\frac{3}{2} + 10 - 9 \right|}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} \] \[ d = \frac{\left| -\frac{3}{2} + 1 \right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \] \[ d = \frac{\left| -\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \] \[ d = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \] \[ d = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] Ответ: \( \text{D) } \frac{\sqrt{5}}{5} \)