Реши задачу
Для решения задачи рассмотрим уравнение окружности:
\[ x^2 - 6x + y^2 - 8y - 11 = 0 \]
Это уравнение окружности в стандартной форме. Давайте сначала приведем его к каноническому виду \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Приведем уравнение к каноническому виду:
Уравнение имеет вид \( x^2 - 6x + y^2 - 8y = 11 \).
Для приведения нужно выполнить уравнивание полного квадрата.
По \(x\):
- \(x^2 - 6x\) можно представить как \((x - 3)^2 - 9\).
По \(y\):
- \(y^2 - 8y\) можно представить как \((y - 4)^2 - 16\).
Подставим в уравнение и упростим:
\((x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 = 11\)
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36\)
Следовательно, центр окружности \((3, 4)\) и радиус \(r = 6\).
Найдем расстояние от точки до прямой:
Теперь у нас есть прямая \[ y = \frac{1}{2}x + 9 \].
Для нахождения расстояния от точки (\(3, 10\)) до этой прямой используем формулу:
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
где \( A = -\frac{1}{2} \), \( B = 1 \), \( C = -9 \), точка \( (x_1, y_1) = (3, 10) \).
\[ d = \frac{\left| -\frac{1}{2}\cdot3 + 1\cdot10 - 9 \right|}{\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2}} \]
\[ d = \frac{\left| -\frac{3}{2} + 10 - 9 \right|}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} \]
\[ d = \frac{\left| -\frac{3}{2} + 1 \right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \]
\[ d = \frac{\left| -\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \]
\[ d = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \]
\[ d = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Ответ: \( \text{D) } \frac{\sqrt{5}}{5} \)
