В развёрнутой форме используются цифры десятичной системы счисления. Чтобы перенести числа в старший разряд, нужно умножить выражение на 102 = 10 (1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 ×…
В развёрнутой форме используются цифры десятичной системы счисления. Чтобы перенести числа в старший разряд, нужно умножить выражение на 102 = 10 (1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20) × 2 = = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21
Давайте разберем указанное выражение и объясним его шаг за шагом.
Исходное выражение:
\[ (1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0) \times 2 \]
В этом выражении число, представленное в двоичной системе счисления, умножается на 2. Это соответствует сдвигу числа влево на один разряд в двоичном представлении. Давайте рассмотрим каждую часть подробнее.
Метод перевода двоичного числа в десятичное: В двоичной системе счисления каждая цифра (бит) представляет степень двойки, начиная с 0 справа. Например, двоичное число 1011 (где 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0) переводится в десятичное следующим образом:
- 1 × 2^3 = 8
- 0 × 2^2 = 0
- 1 × 2^1 = 2
- 1 × 2^0 = 1
Сложив все эти значения, получаем: \[ 8 + 0 + 2 + 1 = 11 \quad \text{(десятичное представление числа 1011)} \]
Умножение на 2: Когда мы умножаем данное выражение на 2, эквивалентно смещению двоичного представления на один разряд влево. Это значит, что к числу добавляется дополнительный 0 справа:
- Исходное двоичное число (1011) сдвигаем влево:
- Получаем 10110.
Теперь давайте убедимся, что мы правильно поняли, почему это так.
Переписывание с учетом смещения: Теперь, когда мы сместим биты, запишем результат в виде: \[ 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 \] Это преобразуется в: \[ 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 \]
Проверка результата: Чтобы найти десятичное значение нового двоичного числа 10110, мы можем выполнить те же действия:
- 1 × 2^4 = 16
- 0 × 2^3 = 0
- 1 × 2^2 = 4
- 1 × 2^1 = 2
Сложив эти значения, получаем: \[ 16 + 0 + 4 + 2 = 22 \]
Таким образом, произведение числа в двоичной системе счисления на 2, как мы видим, изменяет его десятичное значение с 11 на 22, что соответствует смещению во время преобразования.
Итог: Мы уточнили, как умножение двоичного числа на 2 приводит к сдвигу его представления влево, и это преобразование может быть проверено как в двоичной, так и в десятичной системах.
