постройте график квадратичной функции у=х²-х

Чтобы построить график квадратичной функции \( y = x^2 - x \), давайте следовать шагам и подробно разберем процесс.

Шаг 1: Определение формы функции

Квадратичная функция имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \). В нашем случае:

• \( a = 1 \)
• \( b = -1 \)
• \( c = 0 \)

Форма параболы открыта вверх, так как коэффициент перед \( x^2 \) положительный (1).

Шаг 2: Нахождение корней функции

Корни уравнения \( y = 0 \) можно найти с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим наши значения: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{1 \pm 1}{2} \] Таким образом, у нас получается два корня:

1. \( x_1 = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( x_2 = \frac{0}{2} = 0 \)

Шаг 3: Нахождение вершины параболы

Координата вершины параболы дается формулой: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( b = -1 \) и \( a = 1 \): \[ x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \] Теперь, чтобы найти значение \( y \) в этой точке, подставим \( x_v \) в исходную функцию: \[ y_v = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} \] Таким образом, координаты вершины: \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right) \).

Шаг 4: Построение графика

1. Нанесите точки:
   • Корни: \( (0, 0) \) и \( (1, 0) \)
   • Вершина: \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right) \)
2. Постройте график:
   • Начните с корней и вершины, и нарисуйте параболу, которая открыта вверх.
   • График будет симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через вершину \( x = \frac{1}{2} \).

Пример графика

Типичный вид графика квадратичной функции \( y = x^2 - x \) должен быть симметричным, с минимальной точкой на координатах \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right) \), пройдя через корни \( (0, 0) \) и \( (1, 0) \).

Заключение

Таким образом, мы построили график функции \( y = x^2 - x \) и выяснили, что парабола имеет два корня, и ее вершина находится ниже оси \( x \). Этот процесс включает нахождение корней, определение вершины и построение графика с учетом всех ключевых точек.