Найти определённые интегралы: методом замены переменной 2∫_-1 (x²-1)3xdx

Чтобы решить интеграл \( 2 \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^3 x \, dx \) методом замены переменной, давайте начнём с определения замены.

Шаг 1: Выбор замены переменной

Мы видим, что в интеграле есть выражение \( (x^2 - 1)^3 \) и \( x \). Это подсказывает, что целесообразно сделать замену переменной с помощью \( u = x^2 - 1 \).

Тогда: \[ du = 2x \, dx \implies dx = \frac{du}{2x} \]

Теперь нам нужно выразить \( x \) через \( u \): \[ x^2 = u + 1 \implies x = \sqrt{u + 1} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{u + 1} \]

В нашем случае, поскольку мы интегрируем от -1 до 1, и \( x \) меняется от -1 до 1, мы можем учесть обе ветви:

Шаг 2: Пересчет пределов интегрирования

При \( x = -1 \): \[ u = (-1)^2 - 1 = 0 \] При \( x = 1 \): \[ u = 1^2 - 1 = 0 \]

Таким образом, пределы интегрирования от -1 до 1 дают \( u \) от 0 до 0. Это уже говорит о том, что интеграл равен нулю, но мы проверим это через более детальное вычисление, учитывая возможность симметрии.

Шаг 3: Анализ интеграла

Функция \( f(x) = (x^2 - 1)^3 \cdot x \) является нечетной: \[ f(-x) = ((-x)^2 - 1)^3 \cdot (-x) = (x^2 - 1)^3 \cdot (-x) = -f(x) \] Так как нечетная функция интегрируется по симметричному интервалу \([-1, 1]\), мы можем утверждать, что: \[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0 \]

Шаг 4: Заключение

Таким образом, учитывая, что \( 2 \cdot 0 = 0 \), мы приходим к окончательному ответу: \[ 2 \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^3 x \, dx = 0 \]

Итак, окончательный ответ: \[ \boxed{0} \]