Чтобы решить интеграл ( 2 \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^3 x , dx ) методом замены переменной, давайте начнём с определения замены.
Шаг 1: Выбор замены переменной
Мы видим, что в интеграле есть выражение ( (x^2 - 1)^3 ) и ( x ). Это подсказывает, что целесообразно сделать замену переменной с помощью ( u = x^2 - 1 ).
Тогда:
[
du = 2x , dx \implies dx = \frac{du}{2x}
]
Теперь нам нужно выразить ( x ) через ( u ):
[
x^2 = u + 1 \implies x = \sqrt{u + 1} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{u + 1}
]
В нашем случае, поскольку мы интегрируем от -1 до 1, и ( x ) меняется от -1 до 1, мы можем учесть обе ветви:
Шаг 2: Пересчет пределов интегрирования
При ( x = -1 ):
[
u = (-1)^2 - 1 = 0
]
При ( x = 1 ):
[
u = 1^2 - 1 = 0
]
Таким образом, пределы интегрирования от -1 до 1 дают ( u ) от 0 до 0. Это уже говорит о том, что интеграл равен нулю, но мы проверим это через более детальное вычисление, учитывая возможность симметрии.
Шаг 3: Анализ интеграла
Функция ( f(x) = (x^2 - 1)^3 \cdot x ) является нечетной:
[
f(-x) = ((-x)^2 - 1)^3 \cdot (-x) = (x^2 - 1)^3 \cdot (-x) = -f(x)
]
Так как нечетная функция интегрируется по симметричному интервалу ([-1, 1]), мы можем утверждать, что:
[
\int_{-1}^{1} f(x) , dx = 0
]
Шаг 4: Заключение
Таким образом, учитывая, что ( 2 \cdot 0 = 0 ), мы приходим к окончательному ответу:
[
2 \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^3 x , dx = 0
]
Итак, окончательный ответ:
[
\boxed{0}
]
