Зная, что sin ⁡ α = − 2 14 9 sinα=− 9 2 14​​ и α α расположен в IV четверти, найди cos ⁡ α cosα .

Чтобы найти значение \( \cos \alpha \) при условии, что \( \sin \alpha = -\frac{2}{\sqrt{14}} \) и \( \alpha \) находится в IV четверти, воспользуемся тригонометрической идентичностью:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Шаг 1: Найдем \( \sin^2 \alpha \)

Подставим значение \( \sin \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^2 \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \]

Шаг 2: Используем тригонометрическую идентичность

Теперь подставим \( \sin^2 \alpha \) в тригонометрическую идентичность:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{2}{7} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Шаг 3: Найдем \( \cos^2 \alpha \)

Вычтем \( \frac{2}{7} \) из 1:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{2}{7} \]

Перепишем 1 с общим знаменателем:

\[ 1 = \frac{7}{7} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \]

Шаг 4: Найдем \( \cos \alpha \)

Теперь найдено значение \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = \frac{5}{7} \]

Берем корень из \( \cos^2 \alpha \). Поскольку \( \alpha \) находится в IV четверти, \( \cos \alpha \) будет положительным:

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{7} \]

Ответ

Итак, значение \( \cos \alpha \):

\[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{35}}{7} \]