Чтобы найти значение ( \cos \alpha ) при условии, что ( \sin \alpha = -\frac{2}{\sqrt{14}} ) и ( \alpha ) находится в IV четверти, воспользуемся тригонометрической идентичностью:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Шаг 1: Найдем ( \sin^2 \alpha )
Подставим значение ( \sin \alpha ):
[
\sin^2 \alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^2
]
[
\sin^2 \alpha = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}
]
Шаг 2: Используем тригонометрическую идентичность
Теперь подставим ( \sin^2 \alpha ) в тригонометрическую идентичность:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
[
\frac{2}{7} + \cos^2 \alpha = 1
]
Шаг 3: Найдем ( \cos^2 \alpha )
Вычтем ( \frac{2}{7} ) из 1:
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{2}{7}
]
Перепишем 1 с общим знаменателем:
[
1 = \frac{7}{7}
]
[
\cos^2 \alpha = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}
]
Шаг 4: Найдем ( \cos \alpha )
Теперь найдено значение ( \cos^2 \alpha ):
[
\cos^2 \alpha = \frac{5}{7}
]
Берем корень из ( \cos^2 \alpha ). Поскольку ( \alpha ) находится в IV четверти, ( \cos \alpha ) будет положительным:
[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{7}
]
Ответ
Итак, значение ( \cos \alpha ):
[
\cos \alpha = \frac{\sqrt{35}}{7}
]
