Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет 1 или 2 очка. Найди математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины «число бросаний до первого…

Для решения этой задачи мы будем использовать теорию вероятностей, в частности, будем рассматривать модель геометрического распределения.

1. Определение случайной величины

Случайная величина \(X\) – это количество бросков игральной кости до первого успеха, где успехом считается выпадение 1 или 2 очка.

2. Вероятность успеха

При броске игральной кости есть 6 возможных исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6):

• Успех (1 или 2): 2 исхода
• Неудача (3, 4, 5, 6): 4 исхода

Вероятность успеха (выпадение 1 или 2) можно записать как: \[ p = P(X = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Вероятность неудачи (выпадение 3, 4, 5 или 6) будет: \[ q = 1 - p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

3. Математическое ожидание

Для геометрического распределения математическое ожидание \(E(X)\) (ожидаемое число бросков до первого успеха) рассчитывается по формуле: \[ E(X) = \frac{1}{p} \] Подставим значение \(p\): \[ E(X) = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \]

4. Дисперсия

Дисперсия \(Var(X)\) случайной величины \(X\) для геометрического распределения вычисляется по формуле: \[ Var(X) = \frac{q}{p^2} \] Где \(q = 1 - p\): \[ Var(X) = \frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \]

5. Стандартное отклонение

Стандартное отклонение \(SD(X)\) является корнем из дисперсии: \[ SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{6} \]

Итоговые значения

Теперь мы имеем все необходимые значения:

• Математическое ожидание (число бросков до первого успеха): \(E(X) = 3\)
• Дисперсия: \(Var(X) = 6\)
• Стандартное отклонение: \(SD(X) = \sqrt{6} \approx 2.45\)

Таким образом, мы нашли математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины «число бросаний до первого успеха» при бросках игральной кости до получения 1 или 2.