(2/3)²+ 18⁵/12⁶:(27/8)²

Давайте последовательно решим задачу \((2/3)^2 + \frac{18^5}{12^6} : \left(\frac{27}{8}\right)^2\). ### Шаг 1: Вычислим \((2/3)^2\) \[ (2/3)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \] ### Шаг 2: Вычислим \(\frac{18^5}{12^6}\) Начнем с упрощения \(\frac{18^5}{12^6}\). Найдем разложение чисел на простые множители: - \(18 = 2 \cdot 3^2\) - \(12 = 2^2 \cdot 3\) Теперь подставим: \[ 18^5 = (2 \cdot 3^2)^5 = 2^5 \cdot 3^{10} \] \[ 12^6 = (2^2 \cdot 3)^6 = 2^{12} \cdot 3^6 \] Теперь можем подставить это в дробь: \[ \frac{18^5}{12^6} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^6} = \frac{2^5}{2^{12}} \cdot \frac{3^{10}}{3^6} = 2^{5-12} \cdot 3^{10-6} = 2^{-7} \cdot 3^4 \] Теперь упростим это выражение: \[ 2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} \] \[ 3^4 = 81 \] Теперь подставим в дробь: \[ \frac{18^5}{12^6} = \frac{81}{128} \] ### Шаг 3: Вычислим \(\left(\frac{27}{8}\right)^2\) Разберём скобки: \[ \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{27^2}{8^2} = \frac{729}{64} \] ### Шаг 4: Теперь найдем \(\frac{81}{128} : \frac{729}{64}\) Деление дробей по правилам: \[ \frac{81}{128} : \frac{729}{64} = \frac{81}{128} \cdot \frac{64}{729} = \frac{81 \cdot 64}{128 \cdot 729} \] Теперь упростим эту дробь. Заметим, что \(128 = 2^7\) и \(81 = 3^4\). Сначала упростим числитель и знаменатель. Упростим 64 и 128: \[ \frac{64}{128} = \frac{1}{2} \] Теперь подставим: \[ \frac{81 \cdot 64}{128 \cdot 729} = \frac{81 \cdot 1}{2 \cdot 729} = \frac{81}{2 \cdot 729} = \frac{81}{1458} \] ### Шаг 5: Складываем \((2/3)^2\) и полученную величину Теперь можно сложить: \[ \frac{4}{9} + \frac{81}{1458} \] Чтобы сложить дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(9\) и \(1458\) будет \(1458\). Приведем \(\frac{4}{9}\) к знаменателю \(1458\): \[ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 162}{9 \cdot 162} = \frac{648}{1458} \] Теперь можем сложить: \[ \frac{648}{1458} + \frac{81}{1458} = \frac{648 + 81}{1458} = \frac{729}{1458} \] ### Шаг 6: Упростим \(\frac{729}{1458}\) Сократим дробь: \[ \frac{729}{1458} = \frac{1}{2} \] ### Ответ В итоге, результат задачи: \[ \frac{1}{2} \]