(2/3)²+ 18⁵/12⁶:(27/8)²

Давайте последовательно решим задачу \((2/3)^2 + \frac{18^5}{12^6} : \left(\frac{27}{8}\right)^2\).

Шаг 1: Вычислим \((2/3)^2\)

\[ (2/3)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \]

Шаг 2: Вычислим \(\frac{18^5}{12^6}\)

Начнем с упрощения \(\frac{18^5}{12^6}\). Найдем разложение чисел на простые множители:

• \(18 = 2 \cdot 3^2\)
• \(12 = 2^2 \cdot 3\)

Теперь подставим:

\[ 18^5 = (2 \cdot 3^2)^5 = 2^5 \cdot 3^{10} \] \[ 12^6 = (2^2 \cdot 3)^6 = 2^{12} \cdot 3^6 \]

Теперь можем подставить это в дробь:

\[ \frac{18^5}{12^6} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^6} = \frac{2^5}{2^{12}} \cdot \frac{3^{10}}{3^6} = 2^{5-12} \cdot 3^{10-6} = 2^{-7} \cdot 3^4 \]

Теперь упростим это выражение:

\[ 2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} \] \[ 3^4 = 81 \]

Теперь подставим в дробь:

\[ \frac{18^5}{12^6} = \frac{81}{128} \]

Шаг 3: Вычислим \(\left(\frac{27}{8}\right)^2\)

Разберём скобки:

\[ \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{27^2}{8^2} = \frac{729}{64} \]

Шаг 4: Теперь найдем \(\frac{81}{128} : \frac{729}{64}\)

Деление дробей по правилам:

\[ \frac{81}{128} : \frac{729}{64} = \frac{81}{128} \cdot \frac{64}{729} = \frac{81 \cdot 64}{128 \cdot 729} \]

Теперь упростим эту дробь. Заметим, что \(128 = 2^7\) и \(81 = 3^4\).

Сначала упростим числитель и знаменатель. Упростим 64 и 128:

\[ \frac{64}{128} = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим:

\[ \frac{81 \cdot 64}{128 \cdot 729} = \frac{81 \cdot 1}{2 \cdot 729} = \frac{81}{2 \cdot 729} = \frac{81}{1458} \]

Шаг 5: Складываем \((2/3)^2\) и полученную величину

Теперь можно сложить:

\[ \frac{4}{9} + \frac{81}{1458} \]

Чтобы сложить дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(9\) и \(1458\) будет \(1458\).

Приведем \(\frac{4}{9}\) к знаменателю \(1458\):

\[ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 162}{9 \cdot 162} = \frac{648}{1458} \]

Теперь можем сложить:

\[ \frac{648}{1458} + \frac{81}{1458} = \frac{648 + 81}{1458} = \frac{729}{1458} \]

Шаг 6: Упростим \(\frac{729}{1458}\)

Сократим дробь:

\[ \frac{729}{1458} = \frac{1}{2} \]

Ответ

В итоге, результат задачи:

\[ \frac{1}{2} \]