Давайте решим задачу.
Обозначим:
- ( u ) — количество деталей в час, которое делает ученик.
- ( m ) — количество деталей в час, которое делает мастер.
Из условий задачи мы можем составить следующие уравнения:
Ученик тратит 12 часов больше, чем мастер, на изготовление деталей:
[
\frac{270}{u} = \frac{348}{m} + 12
]
Ученик делает на 8 деталей в час меньше, чем мастер:
[
u = m - 8
]
Теперь подставим второе уравнение в первое.
Из второго уравнения:
[
m = u + 8
]
Теперь подставим это выражение для ( m ) в первое уравнение:
[
\frac{270}{u} = \frac{348}{u + 8} + 12
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( u(u + 8) ) для избавления от дробей:
[
270(u + 8) = 348u + 12u(u + 8)
]
Раскроем скобки:
[
270u + 2160 = 348u + 12u^2 + 96u
]
[
270u + 2160 = 12u^2 + 444u
]
Переносим все в одну сторону уравнения:
[
0 = 12u^2 + 444u - 270u - 2160
]
[
0 = 12u^2 + 174u - 2160
]
Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 6:
[
0 = 2u^2 + 29u - 360
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-360) = 841 + 2880 = 3721
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 \pm \sqrt{3721}}{4}
]
Корень из 3721 равен 61:
[
u = \frac{-29 \pm 61}{4}
]
Теперь найдем два возможных значения:
- ( u = \frac{32}{4} = 8 )
- ( u = \frac{-90}{4} ) (это отрицательное значение, которое нам не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным).
Таким образом, количество деталей, которые делает ученик в час, равно:
[
\boxed{8}
]
Это и есть ответ! Ученику удается делать 8 деталей в час.
