На изготовление 270 детали ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер на изготовление 348 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 8 детали меньше, чем мастер.…

Давайте решим задачу.

Обозначим:

• \( u \) — количество деталей в час, которое делает ученик.
• \( m \) — количество деталей в час, которое делает мастер.

Из условий задачи мы можем составить следующие уравнения:

1. Ученик тратит 12 часов больше, чем мастер, на изготовление деталей: \[ \frac{270}{u} = \frac{348}{m} + 12 \]

2. Ученик делает на 8 деталей в час меньше, чем мастер: \[ u = m - 8 \]

Теперь подставим второе уравнение в первое.

Из второго уравнения: \[ m = u + 8 \]

Теперь подставим это выражение для \( m \) в первое уравнение: \[ \frac{270}{u} = \frac{348}{u + 8} + 12 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( u(u + 8) \) для избавления от дробей: \[ 270(u + 8) = 348u + 12u(u + 8) \]

Раскроем скобки: \[ 270u + 2160 = 348u + 12u^2 + 96u \] \[ 270u + 2160 = 12u^2 + 444u \]

Переносим все в одну сторону уравнения: \[ 0 = 12u^2 + 444u - 270u - 2160 \] \[ 0 = 12u^2 + 174u - 2160 \]

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 6: \[ 0 = 2u^2 + 29u - 360 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-360) = 841 + 2880 = 3721 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 \pm \sqrt{3721}}{4} \]

Корень из 3721 равен 61: \[ u = \frac{-29 \pm 61}{4} \]

Теперь найдем два возможных значения:

1. \( u = \frac{32}{4} = 8 \)
2. \( u = \frac{-90}{4} \) (это отрицательное значение, которое нам не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным).

Таким образом, количество деталей, которые делает ученик в час, равно: \[ \boxed{8} \]

Это и есть ответ! Ученику удается делать 8 деталей в час.