у =5х/ (x+2)(x-4)

Рассмотрим задачу:

\[ y = \frac{5x}{(x + 2)(x - 4)} \]

Наша задача — разобраться с этой формулой. Выполним пошаговое объяснение:

Шаг 1: Понять структуру функции

У нас есть дробная функция, где:

• Числитель (верхняя часть дроби): \( 5x \)
• Знаменатель (нижняя часть дроби): \( (x + 2)(x - 4) \)

Шаг 2: Определить область определения

Перед тем как работать с функцией, нам нужно определить, какие значения \( x \) допустимы (область определения). Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому рассмотрим, когда он равен нулю:

1. \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \)
2. \( x - 4 = 0 \) → \( x = 4 \)

Таким образом, функция не определена в точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \). Это значит, что \( x \) может принимать любые значения, кроме -2 и 4.

Шаг 3: Выявление асимптот

Теперь, когда мы знаем область определения, мы можем изучить асимптоты:

• Вертикальные асимптоты находятся в точках, где знаменатель равен нулю. В нашем случае это \( x = -2 \) и \( x = 4 \).
• Горизонтальная асимптота: Для дробной функции с многочленом в числителе \( (степень 1) \) и многочленом в знаменателе \( (степень 2) \), горизонтальная асимптота будет \( y = 0 \), так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Шаг 4: Нахождение значений функции

Теперь рассмотрим, как функция ведет себя при различных значениях \( x \):

• При \( x = 0 \): \[ y = \frac{5(0)}{(0 + 2)(0 - 4)} = \frac{0}{2 \cdot (-4)} = 0 \]

• При \( x = 1 \): \[ y = \frac{5(1)}{(1 + 2)(1 - 4)} = \frac{5}{3 \cdot (-3)} = -\frac{5}{9} \]

• При \( x = -1 \): \[ y = \frac{5(-1)}{(-1 + 2)(-1 - 4)} = \frac{-5}{1 \cdot (-5)} = 1 \]

Шаг 5: Построение графика функции

Теперь, когда у нас есть область определения, асимптоты и несколько значений функции, мы можем построить график.

1. Отметьте точки \( x = -2 \) и \( x = 4 \) на оси \( x \).
2. Проведите линию, которая приближается к асимптотам \( x = -2 \) и \( x = 4 \).
3. Нанесите точки, которые мы нашли, и обратите внимание, как функция ведет себя между асимптотами.

Заключение

Функция \( y = \frac{5x}{(x + 2)(x - 4)} \) — это дробная функция с вертикальными асимптотами в точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \) и горизонтальной асимптотой \( y = 0 \). Она имеет некоторые значения в зависимости от \( x \), которые можно использовать для построения графика.