І

Чтобы решить уравнение \(2 \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Уравнение имеет вид: \[ 2 \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 2: Умножение на коэффициенты

Рассмотрим стандартные значения тригонометрических функций, чтобы понять решение более интуитивно. Мы знаем, что:

• \(\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Однако это не поможет прямо, поэтому необходимо придумать метод, позволяющий выразить уравнение в более удобных компонентах.

Шаг 3: Применение метода дополнительного угла

Для того чтобы проще решить уравнение, можно преобразовать его с помощью метода дополнительного угла.

Представим \(2 \sin x - \cos x\) в виде: \[ R \sin(x + \alpha) \]

где \(R\) — амплитуда, которая находится как \(\sqrt{a^2 + b^2}\), а \(\alpha\) — сдвиг фазы, который определяется по следующим формулам: \[ R = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Пусть: \[ 2 = R \cos \alpha \] \[ -1 = R \sin \alpha \]

Поэтому: \[ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} \]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь уравнение примет вид: \[ \sqrt{5} \sin(x + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Делим обе стороны на \(\sqrt{5}\): \[ \sin(x + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \]

Решим для \(x + \alpha\): \[ x + \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x + \alpha = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \]

Шаг 5: Обратные преобразования

Теперь учитываем найденное \(\alpha\), и для конкретных решений \(x\): \[ x = -\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \]

Ответ

Таким образом, решения задачи зависят от конкретных численных подстановок и угловых связей, но метод дополнительного угла позволяет превратить каждое тригонометрическое выражение в лучший вид для интерпретации и решения.