І

Чтобы решить уравнение \(2 \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Преобразование уравнения Уравнение имеет вид: \[ 2 \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 2: Умножение на коэффициенты Рассмотрим стандартные значения тригонометрических функций, чтобы понять решение более интуитивно. Мы знаем, что: - \(\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Однако это не поможет прямо, поэтому необходимо придумать метод, позволяющий выразить уравнение в более удобных компонентах. ### Шаг 3: Применение метода дополнительного угла Для того чтобы проще решить уравнение, можно преобразовать его с помощью метода дополнительного угла. Представим \(2 \sin x - \cos x\) в виде: \[ R \sin(x + \alpha) \] где \(R\) — амплитуда, которая находится как \(\sqrt{a^2 + b^2}\), а \(\alpha\) — сдвиг фазы, который определяется по следующим формулам: \[ R = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Пусть: \[ 2 = R \cos \alpha \] \[ -1 = R \sin \alpha \] Поэтому: \[ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} \] ### Шаг 4: Решение уравнения Теперь уравнение примет вид: \[ \sqrt{5} \sin(x + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Делим обе стороны на \(\sqrt{5}\): \[ \sin(x + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \] Решим для \(x + \alpha\): \[ x + \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x + \alpha = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \] ### Шаг 5: Обратные преобразования Теперь учитываем найденное \(\alpha\), и для конкретных решений \(x\): \[ x = -\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi k \] ### Ответ Таким образом, решения задачи зависят от конкретных численных подстановок и угловых связей, но метод дополнительного угла позволяет превратить каждое тригонометрическое выражение в лучший вид для интерпретации и решения.