Один из углов равнобедренной трапеции равен 150°. Вычисли площадь трапеции, если её меньшее основание равно 18 см, а боковая сторона равна 14/3 см

Чтобы вычислить площадь равнобедренной трапеции, нужно знать длины её оснований и высоту. В этой задаче мы имеем меньшее основание (18 см) и боковую сторону (14/3 см). Один из углов равнобедренной трапеции равен 150°.

Шаг 1: Найдем большой угол

Если один из углов равнобедренной трапеции равен 150°, то противолежащий угол (так как в трапеции сумма внутренних углов равна 360°) также составляет 150°. Оставшиеся два угла будут равны между собой. Таким образом:

\[ 2x + 150° + 150° = 360° \]

где \( x \) — это углы, равные между собой.

\[ 2x + 300° = 360° \]

\[ 2x = 360° - 300° = 60° \]

\[ x = 30° \]

Шаг 2: Найдем высоту трапеции

Теперь, зная, что углы при меньшем основании равны 30°, можно провести перпендикуляр из вершин боковой стороны к меньшему основанию. Это создаст два прямоугольных треугольника, каждый из которых будет иметь:

• один угол 30°,
• гипотенузу равную боковой стороне (14/3 см),
• один катет как высоту \( h \),
• другой катет как половину разности между большими и меньшими основаниями.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, высота \( h \) может быть найдена по формуле для синуса:

\[ \sin(30°) = \frac{h}{14/3} \]

Зная, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), подставим значения:

\[ \frac{1}{2} = \frac{h}{14/3} \]

Умножим обе стороны на \( \frac{14}{3} \):

\[ h = \frac{14/3}{2} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем длину большого основания

Для расчета длины большого основания можно воспользоваться свойством равнобедренной трапеции. Если обозначить длинное основание \( b_1 \) и короткое основание \( b_2 \) (где \( b_2 = 18 \) см), то:

\[ b_1 = b_2 + 2x \]

где \( x \) — это горизонтальная проекция боковой стороны:

\[ x = \cos(30°) \cdot \frac{14}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{14}{3} = \frac{14\sqrt{3}}{6} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Теперь подставим это значение в формулу для большего основания:

\[ b_1 = 18 + 2 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3} = 18 + \frac{14\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

Шаг 4: Рассчитаем площадь трапеции

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{\left(18 + \left(18 + \frac{14\sqrt{3}}{3}\right)\right) \cdot \frac{7}{3}}{2} \]

Упрощаем:

\[ b_1 + b_2 = 18 + 18 + \frac{14\sqrt{3}}{3} = 36 + \frac{14\sqrt{3}}{3} \]

Теперь подставляем это в формулу площади:

\[ S = \frac{\left(36 + \frac{14\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{7}{3}}{2} \]

Упростим это выражение, выполнив умножение:

\[ S = \frac{7(36 + \frac{14\sqrt{3}}{3})}{6} = \frac{252 + \frac{98\sqrt{3}}{3}}{6} = 42 + \frac{49\sqrt{3}}{9} \]

Итог

Таким образом, (точное значение) площадь равнобедренной трапеции равна \( 42 + \frac{49\sqrt{3}}{9} \) см².