f(x) =2x³-3x²+2

Чтобы понять, как работает функция \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2 \), мы можем провести ее анализ, включая нахождение производных, изучение ее поведения и графика.

Шаг 1: Определение типа функции

Данная функция - это многочлен третьей степени (кубическая функция), так как степень наивысшего члена (2x³) равна 3.

Шаг 2: Нахождение производной

Чтобы понять, как функция изменяется, мы найдем ее первую производную \( f'(x) \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2) \]

Используя стандартные правила дифференцирования, найдем производную каждого члена:

1. \( \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2 \)
2. \( \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \)
3. \( \frac{d}{dx}(2) = 0 \)

Теперь подставим это в уравнение:

\[ f'(x) = 6x^2 - 6x \] \[ f'(x) = 6x(x - 1) \]

Шаг 3: Нахождение критических точек

Критические точки находятся там, где производная равна нулю:

\[ 6x(x - 1) = 0 \]

Это уравнение верно, если либо \( 6x = 0 \) (то есть \( x = 0 \)), или \( x - 1 = 0 \) (то есть \( x = 1 \)). Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

Шаг 4: Определение поведения функции

Теперь мы можем определить, будет ли функция возрастать или убывать на интервалах, определенных критическими точками:

1. Выберем промежутки для проверки:

   • \( x < 0 \)
   • \( 0 < x < 1 \)
   • \( x > 1 \)

2. Проверим знак производной на этих интервалах:

• Для \( x < 0 \), выберем \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 6(-1)((-1) - 1) = 6(-1)(-2) = 12 \quad (\text{положительное значение}) \] Функция возрастает.

• Для \( 0 < x < 1 \), выберем \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = 6(0.5)((0.5) - 1) = 6(0.5)(-0.5) = -1.5 \quad (\text{отрицательное значение}) \] Функция убывает.

• Для \( x > 1 \), выберем \( x = 2 \): \[ f'(2) = 6(2)(2 - 1) = 6(2)(1) = 12 \quad (\text{положительное значение}) \] Функция возрастает.

Шаг 5: Нахождение значений функции

Теперь мы можем найти значение функции в критических точках:

• \( f(0) = 2(0^3) - 3(0^2) + 2 = 2 \)
• \( f(1) = 2(1^3) - 3(1^2) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1 \)

Шаг 6: Анализ

На основании проведенных анализов:

• \( f(x) \) возрастает на интервале \( (-\infty, 0) \)
• Убывает на интервале \( (0, 1) \)
• Возрастает на интервале \( (1, +\infty) \)

У функции есть максимум при \( x = 0 \) и минимум при \( x = 1 \).

Шаг 7: Построение графика

Чтобы построить график функции, можно использовать полученные данные о критических точках и поведении функции. График будет выглядеть следующим образом:

1. Начинается на положительном значении, возрастает до 2 при \( x = 0 \), затем снижается до 1 при \( x = 1 \) и снова возрастает.

Эти шаги помогут вам понять, как анализировать функции и находить важные характеристики, такие как максимумы, минимумы и поведение на различных интервалах.