Реши

Для задачи из варианта II на изображении я дам подробные объяснения и решения.

1. Решение неравенства:

а) \(\sin x \leq \dfrac{1}{2}\)

Интервал, где \(\sin x \leq \dfrac{1}{2}\), определяется следующим образом:

1. \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
2. Неравенство выполняется для \(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\) в пределах одного периода.

б) \(\cos x > -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Интервал для \(\cos x > -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) определяется так:

1. \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\) и \(x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi\).
2. Неравенство выполняется на интервале \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \leq 1\), т.е., для \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} < \cos x\), \(x\) лежит в интервале \((2k\pi, \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi) \cup (\dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi, 2k\pi + 2\pi)\).

в) \(\tg x < \sqrt{3}\)

Интервал для \(\tg x < \sqrt{3}\):

1. \(\tg x = \sqrt{3}\) имеет решение \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\).
2. Неравенство выполняется для \(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < x < \dfrac{\pi}{3} + k\pi\).

г) \(\cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) \geq 0\)

Неравенство \(\cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) \geq 0\) выполняется, когда:

1. \(\cos(\phi) \geq 0\) для \(-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \phi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\).
2. Решим относительно \(x\): \(2x + \dfrac{\pi}{3} \in [0, \pi] + 2k\pi\).
3. Отсюда \(x \in [-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}] + k\pi\).

2. Определите все \(a\), при каждом из которых неравенство

\(8 \sin x - 4 \cos x < a\), имеет хотя бы одно решение.

Перепишем векторное обозначение:

Пусть \(\vec{v} = (8, -4)\), тогда \(|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\).

Максимальное значение, которое может достигнуть выражение \(8 \sin x - 4 \cos x\), равно длине этого вектора. Таким образом, для каждого \(a > 4\sqrt{5}\) данное неравенство не будет иметь решений, а для \(a \leq 4\sqrt{5}\) — будет иметь хотя бы одно.