y=-x³+4x²-4x
Давайте разберем данное уравнение функции \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \).
Шаг 1: Анализ функции
Это полиномиальная функция третьей степени (кубическая функция), отображенная в виде: \[ y = -x^3 + 4x^2 - 4x \]
Шаг 2: Нахождение критических точек
Чтобы понять, как ведёт себя график функции, найдем её производную, которая поможет определить критические точки (точки, где функция может иметь максимумы или минимумы).
a) Найдем производную:
\[ \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 8x - 4 \]
b) Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[ -3x^2 + 8x - 4 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.
c) Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 - 48 = 16 \]
d) Найдем корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 4}{-6} \]
Первый корень: \[ x_1 = \frac{-8 + 4}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3} \]
Второй корень: \[ x_2 = \frac{-8 - 4}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2 \]
Итак, критические точки: \( x_1 = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = 2 \).
Шаг 3: Определение типа критических точек
Чтобы выяснить, являются ли эти точки максимумом или минимумом, используем второй производной:
a) Найдем вторую производную:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6x + 8 \]
b) Подставим критические точки:
Для \( x = \frac{2}{3} \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \cdot \frac{2}{3} + 8 = -4 + 8 = 4 > 0 \quad (\text{минимум}) \]
Для \( x = 2 \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -6 \cdot 2 + 8 = -12 + 8 = -4 < 0 \quad (\text{максимум}) \]
Шаг 4: Нахождение значений функции в критических точках
Найдем значение функции в точке \( x = \frac{2}{3} \): \[ y\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) \] \[ = -\frac{8}{27} + 4 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} - \frac{8}{3} \] Приведем к общему знаменателю 27: \[ -\frac{8}{27} + \frac{48}{27} - \frac{72}{27} = -\frac{32}{27} \]
Найдем значение функции в точке \( x = 2 \): \[ y(2) = -2^3 + 4 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = -8 + 16 - 8 = 0 \]
Шаг 5: Построим график функции
Теперь мы знаем критические точки и значения функции в этих точках. Можно построить график:
- \( x = \frac{2}{3} \) — минимум с \( y = -\frac{32}{27} \)
- \( x = 2 \) — максимум с \( y = 0 \)
Вывод
- Функция имеет минимум в точке \( x = \frac{2}{3} \) и максимум в точке \( x = 2 \).
- График функции будет выглядеть как кубическая парабола, начинающаяся в отрицательной области y, поднимающаяся до максимума, а затем снова опускающаяся.
Таким образом, мы разбили на шаги задачу и выяснили основные моменты о функции \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \). Если у вас есть какие-либо вопросы или нужна дополнительная информация, не стесняйтесь спрашивать!
