Прямоугольный треугольник вращается вокруг своего длинного катета 16 см и вокруг своего короткого катета 12 см. Ответ: площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета, равна Число π см²; площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета, равна Число π см².

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что происходит, когда прямоугольный треугольник вращается вокруг катета. В результате такого вращения образуются конусы. Рассмотрим это по шагам. ### Шаг 1: Понимание задачи У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 12 см (короткий катет) и 16 см (длинный катет). Мы будем вычислять площадь боковой поверхности конусов, образованных при вращении этого треугольника вокруг каждого из катетов. ### Шаг 2: Формула для площади боковой поверхности конуса Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[ S = \pi r l \] где: - \( S \) — площадь боковой поверхности, - \( r \) — радиус основания конуса, - \( l \) — образующая (длина линий, соединяющих вершину конуса с кругом основания). ### Шаг 3: Вращение вокруг длинного катета (16 см) Когда треугольник вращается вокруг длинного катета (16 см), этот катет становится высотой конуса, а короткий катет (12 см) — радиусом основания. 1. **Определяем радиус основания (r)**: \( r = 12 \) см. 2. **Находим образующую (l)**: Образующая — это гипотенуза треугольника. Находим ее с помощью теоремы Пифагора: \[ l = \sqrt{(12)^2 + (16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \] 3. **Теперь можно найти площадь боковой поверхности конуса**: \[ S = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 20 = 240\pi \text{ см}^2. \] ### Шаг 4: Вращение вокруг короткого катета (12 см) Теперь давайте рассмотрим вращение вокруг короткого катета: 1. **Определяем радиус основания (r)**: В этом случае радиус — это длинный катет, \( r = 16 \) см. 2. **Находим образующую (l)**: Образующая (гипотенуза) остаётся той же: \[ l = 20 \text{ см}. \] 3. **Теперь можно найти площадь боковой поверхности конуса**: \[ S = \pi r l = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi \text{ см}^2. \] ### Итоговые результаты - Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета (16 см): \[ 240\pi \text{ см}^2. \] - Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета (12 см): \[ 320\pi \text{ см}^2. \] Таким образом, наши окончательные ответы: - Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета, равна \( 240\pi \) см². - Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета, равна \( 320\pi \) см².