Прямоугольный треугольник вращается вокруг своего длинного катета 16 см и вокруг своего короткого катета 12 см. Ответ: площадь боковой поверхности конуса, образованного при…

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что происходит, когда прямоугольный треугольник вращается вокруг катета. В результате такого вращения образуются конусы. Рассмотрим это по шагам.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 12 см (короткий катет) и 16 см (длинный катет). Мы будем вычислять площадь боковой поверхности конусов, образованных при вращении этого треугольника вокруг каждого из катетов.

Шаг 2: Формула для площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[ S = \pi r l \]

где:

• \( S \) — площадь боковой поверхности,
• \( r \) — радиус основания конуса,
• \( l \) — образующая (длина линий, соединяющих вершину конуса с кругом основания).

Шаг 3: Вращение вокруг длинного катета (16 см)

Когда треугольник вращается вокруг длинного катета (16 см), этот катет становится высотой конуса, а короткий катет (12 см) — радиусом основания.

1. Определяем радиус основания (r):
   \( r = 12 \) см.

2. Находим образующую (l):
   Образующая — это гипотенуза треугольника. Находим ее с помощью теоремы Пифагора: \[ l = \sqrt{(12)^2 + (16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \]

3. Теперь можно найти площадь боковой поверхности конуса: \[ S = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 20 = 240\pi \text{ см}^2. \]

Шаг 4: Вращение вокруг короткого катета (12 см)

Теперь давайте рассмотрим вращение вокруг короткого катета:

1. Определяем радиус основания (r):
   В этом случае радиус — это длинный катет, \( r = 16 \) см.

2. Находим образующую (l):
   Образующая (гипотенуза) остаётся той же: \[ l = 20 \text{ см}. \]

3. Теперь можно найти площадь боковой поверхности конуса: \[ S = \pi r l = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi \text{ см}^2. \]

Итоговые результаты

• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета (16 см): \[ 240\pi \text{ см}^2. \]

• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета (12 см): \[ 320\pi \text{ см}^2. \]

Таким образом, наши окончательные ответы:

• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета, равна \( 240\pi \) см².
• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета, равна \( 320\pi \) см².