В вазе 15 гвоздик, из которых 5 красные В темноте наугад вынимант три гвоздики. Какова вероятность, что хотя бы одна из них булет красной?

Чтобы решить задачу о вероятности, давайте сначала сформулируем её чётко. У нас есть 15 гвоздик, из которых 5 красные и 10 других цветов. Мы хотим узнать вероятность того, что при случайном извлечении 3 гвоздик хотя бы одна из них будет красной. ### Шаг 1: Найдем противоположное событие Это удобный способ вычисления вероятности в задачах, связанных с "по крайней мере одним". Вместо того чтобы рассчитывать вероятность того, что хотя бы одна гвоздика из 3 будет красной, мы сначала найдем вероятность того, что **ни одна** из вытащенных гвоздик не красная. ### Шаг 2: Считаем общее количество способов выбрать гвоздики Общее количество способов выбрать 3 гвоздики из 15 можно вычислить с помощью сочетаний (комбинаций): \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Где \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае 15), а \( k \) — количество предметов, которые мы выбираем (в нашем случае 3). \[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \] ### Шаг 3: Считаем количество способов выбрать только не красные гвоздики Количество не красных гвоздик — 10 (15 - 5). Теперь найдем количество способов выбрать 3 не красные гвоздики: \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] ### Шаг 4: Находим вероятность того, что ни одна из выбранных гвоздик не красная Теперь мы можем найти вероятность того, что все три выбраны только из 10 не красных: \[ P(\text{ни одна не красная}) = \frac{C(10, 3)}{C(15, 3)} = \frac{120}{455} \] ### Шаг 5: Находим вероятность того, что хотя бы одна гвоздика красная Теперь, используя потерю (1 - P), находим вероятность того, что хотя бы одна из 3 гвоздик будет красной: \[ P(\text{хотя бы одна красная}) = 1 - P(\text{ни одна не красная}) = 1 - \frac{120}{455} = \frac{455 - 120}{455} = \frac{335}{455} \] ### Шаг 6: Упрощаем дробь Теперь можно упростить дробь, если возможно. Находим наибольший общий делитель (НОД) 335 и 455. 335 = 5 × 67 455 = 5 × 91 Общий делитель — 5. Делим числитель и знаменатель на 5: \[ \frac{335 \div 5}{455 \div 5} = \frac{67}{91} \] Таким образом, итоговый ответ, вероятность того, что хотя бы одна из трёх гвоздик будет красной, равна: \[ \frac{67}{91} \] ### Ответ Вероятность того, что хотя бы одна из трёх вытащенных гвоздик будет красной, составляет \(\frac{67}{91}\).