Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4-x^2, прямой y=x+2 и осью Ox
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 4 - x^2\), прямой \(y = x + 2\) и осью \(Ox\), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определение точек пересечения
Первым делом найдем точки пересечения параболы и прямой, для этого приравняем уравнения:
\[ 4 - x^2 = x + 2 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ -x^2 - x + 4 - 2 = 0 \]
Это уравнение упрощается до:
\[ -x^2 - x + 2 = 0 \]
Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\):
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня:
- \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\)
- \(x_2 = \frac{-4}{2} = -2\)
Шаг 2: Определение границ интегрирования
Теперь знаем, что парабола и прямая пересекаются в точках \(x = -2\) и \(x = 1\). Эти точки будут границами нашего интеграла.
Шаг 3: Построение функции для площади
Площадь между этими кривыми будет определяться по следующей формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]
где \(f(x)\) — это функция, которая выше, а \(g(x)\) — функция, которая ниже. В данном случае:
- Функция \(f(x) = 4 - x^2\) (парабола)
- Функция \(g(x) = x + 2\) (прямая)
Теперь можно записать определенный интеграл:
\[ S = \int_{-2}^{1} \left( (4 - x^2) - (x + 2) \right) \, dx \]
Шаг 4: Упрощение интеграла
Упрощаем подынтегральное выражение:
\[ S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) \, dx \]
Это приводит к:
\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx \]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Теперь вычислим интеграл:
\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1} \]
Теперь подставим границы:
- Для \(x = 1\):
\[ -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{9}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{3} + \frac{9}{6} \]
Далее, пересчитываем:
\[ = -\frac{1}{3} + \frac{4.5}{3} = -\frac{1 - 4.5}{3} = \frac{3.5}{3} = \frac{7}{6} \]
- Для \(x = -2\):
\[ -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3} = \frac{8 - 18}{3} = \frac{-10}{3} \]
Шаг 6: Подсчет площади
Теперь подставим и найдем разницу:
\[ S = \left(\frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \]
Сначала приведем к общему знаку:
\(\frac{10}{3} = \frac{20}{6}\):
\[ S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью \(Ox\), равна \(\frac{9}{2}\) или \(4.5\) квадратных единиц.
