Дано:треугольник ABC ,D - середина AC ,ED=DF , угол 1=углу 2= 90 градусов доказать, что треугольник ABC-равнобедренный

Рассмотрим треугольник \( ABC \) и точки, отмеченные на рисунке. В задаче сказано, что \( D \) — середина \( AC \), \( ED = DF \), и углы 1 и 2 равны \( 90^\circ \). Нужно доказать, что треугольник \( ABC \) равнобедренный, то есть что \( AB = BC \).

1. Из условий:
   \[ \angle EDB = \angle FDB = 90^\circ \] Это значит, что \( ED \) и \( DF \) — высоты из точки \( D \), и они равны по условию (\( ED = DF \)).

2. Рассмотрим треугольники \( EBD \) и \( FBD \):

   • Оба треугольника прямоугольные (\( \angle EDB = \angle FDB = 90^\circ \)).
   • Общая сторона \( BD \).
   • \( ED = DF \).

   Таким образом, по теореме о равенстве прямоугольных треугольников (гипотенуза и катет) треугольники \( EBD \) и \( FBD \) равны: \[ \triangle EBD \cong \triangle FBD \]

3. Вывод из равенства треугольников:

   Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны и углы равны: \[ \angle EBD = \angle FBD \]

4. Доказательство равенства \( AB \) и \( BC \):

   Поскольку \( D \) — середина \( AC \), то \( AD = DC \).

   Теперь, зная, что углы \( \angle ABD \) и \( \angle CBD \) равны (так как \( \angle EBD = \angle FBD \)), скажем, по признаку равенства треугольников, то стороны \( AB \) и \( BC \), прилегающие к этим углам, также равны.

   Значит, треугольник \( ABC \) равнобедренный: \[ AB = BC \]

Таким образом, доказано, что треугольник \( ABC \) равнобедренный.