Чтобы Ксения могла рассчитать срок автокредита, нужно использовать формулу для расчета аннуитетного платежа. Аннуитетный платеж – это постоянный платеж, который включает в себя как процент, так и основную сумму долга.
Данные:
- Цена автомобиля (сумма кредита) ( P = 1,300,000 ) руб.
- Ставка по кредиту ( r = 11% = 0.11 ) в год.
- Максимальный ежемесячный платеж ( PMT = 25,000 ) руб.
Сначала переведем годовую процентную ставку в месячную. Для этого разделим ее на 12:
[
r_{monthly} = \frac{0.11}{12} \approx 0.00916667
]
Теперь можем использовать формулу для расчета аннуитетного платежа:
[
PMT = P \cdot \frac{r_{monthly} (1 + r_{monthly})^n}{(1 + r_{monthly})^n - 1}
]
где:
- ( PMT ) – ежемесячный платеж,
- ( P ) – сумма кредита,
- ( r_{monthly} ) –Monthly interest rate,
- ( n ) – количество месяцев.
Чтобы найти ( n ), мы преобразуем формулу:
- Умножаем обе стороны на ((1 + r_{monthly})^n - 1):
[
PMT \cdot ((1 + r_{monthly})^n - 1) = P \cdot r_{monthly} \cdot (1 + r_{monthly})^n
]
- Раскрываем скобки:
[
PMT \cdot (1 + r_{monthly})^n - PMT = P \cdot r_{monthly} \cdot (1 + r_{monthly})^n
]
- Переносим все, содержащие ((1 + r_{monthly})^n) в одну сторону:
[
PMT \cdot (1 + r_{monthly})^n - P \cdot r_{monthly} \cdot (1 + r_{monthly})^n = PMT
]
- Вытаскиваем ((1 + r_{monthly})^n):
[
(1 + r_{monthly})^n \cdot (PMT - P \cdot r_{monthly}) = PMT
]
- Делим обе стороны на ( (PMT - P \cdot r_{monthly}) ):
[
(1 + r_{monthly})^n = \frac{PMT}{PMT - P \cdot r_{monthly}}
]
- Зачем вычисляем логарифм:
[
n \cdot \ln(1 + r_{monthly}) = \ln\left(\frac{PMT}{PMT - P \cdot r_{monthly}}\right)
]
- Последний шаг – делим на (\ln(1 + r_{monthly})):
[
n = \frac{\ln\left(\frac{PMT}{PMT - P \cdot r_{monthly}}\right)}{\ln(1 + r_{monthly})}
]
Теперь подставим наши данные:
Рассчитаем сначала ( P \cdot r_{monthly} ):
[
P \cdot r_{monthly} = 1,300,000 \cdot 0.00916667 \approx 11,916.67
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
n \approx \frac{\ln\left(\frac{25,000}{25,000 - 11,916.67}\right)}{\ln(1 + 0.00916667)}
]
Давайте сначала упростим:
[
25,000 - 11,916.67 \approx 13,083.33
]
[
\frac{25,000}{13,083.33} \approx 1.9131
]
Теперь найдем логарифмы:
[
\ln(1.9131) \approx 0.6449
]
[
\ln(1 + 0.00916667) \approx 0.0091
]
Теперь можем подставить и рассчитать ( n ):
[
n = \frac{0.6449}{0.0091} \approx 70.8
]
Таким образом, ( n \approx 71 ) месяцев, что составляет примерно 5 лет и 11 месяцев.
Ответ: Ксения должна взять кредит сроком примерно на 71 месяц (или 5 лет и 11 месяцев), чтобы ежемесячный платеж не превышал 25,000 рублей.
