Дисперсия набора чисел 5, 11, 2 равна 14. С помощью свойств дисперсии найдите дисперсию набора чисел: 50,110,20

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, что такое дисперсия и как мы можем использовать свойства дисперсии.

Дисперсия — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Дисперсия показывает, насколько сильно отличаются значения от среднего числа.

Мы знаем, что дисперсия первого набора чисел \(5, 11, 2\) равна 14. Запишем шаги, необходимые для нахождения дисперсии второго набора \(50, 110, 20\).

Свойства дисперсии

Среди ключевых свойств дисперсии, которые нам понадобятся, следующие:

1. Смещение: Если к каждому элементу набора данных прибавить (или вычесть) одно и то же число \(k\), дисперсия не изменится: \[ D(X + k) = D(X) \]

2. Масштабирование: Если все элементы набора данных умножить на одно и то же число \(a\), дисперсия умножится на квадрат этого числа: \[ D(aX) = a^2 D(X) \]

Применим свойства дисперсии к нашей задаче

1. Посмотрим на первый набор чисел \(5, 11, 2\):

   • Среднее значение: \[ \text{mean}_1 = \frac{5 + 11 + 2}{3} = 6 \]
   • Дисперсия данного набора \(D_1 = 14\).

2. Теперь переведем второй набор \(50, 110, 20\) в форму, которой соответствуют числа первого набора:

   • Каждый элемент второго набора можно представить как: \[ 50 = 5 \times 10, \quad 110 = 11 \times 10, \quad 20 = 2 \times 10. \]

   Это означает, что каждый элемент второго набора является результатом умножения каждого элемента первого набора на 10.

3. Применим свойства дисперсии:

   • Умножаем на 10: \[ D(10X) = 10^2 \cdot D(X) = 100 \cdot D_1 \]
   • Подставляем значение: \[ D(10X) = 100 \cdot 14 = 1400. \]

Ответ

Таким образом, дисперсия набора чисел \(50, 110, 20\) равна 1400.