В некотором графе 11 рёбер. Пять вершин имеют степень 2, а остальные вершины – степень 3. Сколько вершин степени 3 содержит граф?
Чтобы решить задачу, давайте воспользуемся теорией графов. В графе есть два основных свойства, которые нам помогут:
- Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных данной вершине.
- Сумма всех степеней вершин равна двойному количеству рёбер.
Мы знаем, что в графе 11 рёбер и 5 вершин имеют степень 2.
Обозначим количество вершин степени 3 как \( x \). Тогда общее количество вершин в графе будет \( 5 + x \).
Теперь давайте запишем уравнение для суммы степеней:
Сумма степеней всех вершин равна: \[ \text{Сумма степеней} = \text{Степени вершин степени 2} + \text{Степени вершин степени 3} \]
Для 5 вершин степени 2: \[ 5 \times 2 = 10 \]
Для \( x \) вершин степени 3: \[ 3 \times x \]
Итак, полное уравнение суммы степеней будет выглядеть так: \[ 10 + 3x \]
Согласно свойству графов, эта сумма равна двойному количеству рёбер. Поскольку у нас 11 рёбер, у нас есть: \[ 10 + 3x = 2 \times 11 \] \[ 10 + 3x = 22 \]
Теперь решим это уравнение для \( x \): \[ 3x = 22 - 10 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = \frac{12}{3} = 4 \]
Таким образом, в графе 4 вершины степени 3.
Ответ:
В графе 4 вершины степени 3.
